2 Fragen zu Produktionsfunktion

Die Produktionsfunktion \( F(K, N) = 0.8K^{0.3}N^{0.7} \) beschreibt, wie die Inputs Kapital (K) und Arbeit (N) in Output umgewandelt werden. Hier sind einige wichtige Aspekte dieser Funktion: 1. **Skalenerträge**: Um die Skalenerträge zu bestimmen, addiere die Exponenten der Inputs. In diesem Fall sind die Exponenten 0.3 und 0.7. Die Summe ist 1 (0.3 + 0.7 = 1), was bedeutet, dass die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge aufweist. Das heißt, wenn sowohl Kapital als auch Arbeit um denselben Faktor erhöht werden, wird der Output um denselben Faktor steigen. 2. **Partielle Ableitungen**: Die partiellen Ableitungen der Funktion geben die Grenzproduktivitäten der Inputs an. - Die partielle Ableitung nach Kapital (K) ist: \( \frac{\partial F}{\partial K} = 0.3 \cdot 0.8K^{-0.7}N^{0.7} \). - Die partielle Ableitung nach Arbeit (N) ist: \( \frac{\partial F}{\partial N} = 0.7 \cdot 0.8K^{0.3}N^{-0.3} \). 3. **Interpretation der Koeffizienten**: Der Koeffizient 0.8 skaliert die gesamte Produktionsfunktion und beeinflusst das Niveau des Outputs, aber nicht die Form der Funktion oder die Skalenerträge. Diese Produktionsfunktion ist eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, die häufig in der ökonomischen Theorie verwendet wird, um die Beziehung zwischen Inputs und Output zu modellieren.

Die Cobb-Douglas-Funktion und die Leontief-Produktionsfunktion sind zwei unterschiedliche Arten von Produktionsfunktionen, die in der Volkswirtschaftslehre verwendet werden, um die Beziehung zwischen Inputfaktoren und Output zu modellieren. 1. **Cobb-Douglas-Produktionsfunktion**: - **Form**: \( Y = A \cdot K^\alpha \cdot L^\beta \) - **Parameter**: \( A \) ist ein Technologieparameter, \( K \) steht für Kapital, \( L \) für Arbeit, und \( \alpha \) und \( \beta \) sind die Outputelastizitäten der jeweiligen Inputfaktoren. - **Eigenschaften**: - **Substituierbarkeit**: Die Inputfaktoren Kapital und Arbeit sind teilweise substituierbar. Das bedeutet, dass ein Mangel an einem Inputfaktor durch eine Erhöhung des anderen ausgeglichen werden kann. - **Skalenerträge**: Die Summe der Ex \( \alpha + \beta \) bestimmt die Art der Skalenerträge (konstant, steigend oder fallend). - **Elastizität der Substitution**: Die Elastizität der Substitution ist konstant und gleich 1. 2. **Leontief-Produktionsfunktion**: - **Form**: \( Y = \min \left( \frac{K}{a}, \frac{L}{b} \right) \) - **Parameter**: \( a \) und \( b \) sind feste Input-Koeffizienten, die das Verhältnis von Kapital und Arbeit bestimmen. - **Eigenschaften**: - **Keine Substituierbarkeit**: Die Inputfaktoren Kapital und Arbeit sind in festen Proportionen kombiniert. Ein Mangel an einem Inputfaktor kann nicht durch eine Erhöhung des anderen ausgeglichen werden. - **Fixe Proportionen**: Die Produktion ist durch den knappsten Inputfaktor begrenzt, was bedeutet, dass die Produktionsfunktion eine "Leontief-Technologie" darstellt. - **Elastizität der Substitution**: Die Elastizität der Substitution ist null, da die Inputfaktoren nicht substituierbar sind. Zusammengefasst: - Die Cobb-Douglas-Funktion erlaubt eine gewisse Substituierbarkeit zwischen Kapital und Arbeit, während die Leontief-Produktionsfunktion feste Proportionen zwischen den Inputfaktoren voraussetzt. - Die Cobb-Douglas-Funktion hat variable Skalenerträge, abhängig von den Exponenten, während die Leontief-Funktion konstante Skalenerträge aufweist, da sie durch den knappsten Inputfaktor begrenzt ist.