2 Fragen zu Naeherungsverfahren

Um die Koordinaten der Funktion \( f(x) = \frac{50 \cdot \ln(x)}{e^x} \) über ein Näherungsverfahren auf Tausendstel genau zu berechnen, kannst du beispielsweise das Newton-Verfahren oder das Intervallhalbierungsverfahren verwenden. Hier ist eine allgemeine Vorgehensweise: 1. **Bestimme den Bereich**: Wähle einen Bereich für \( x \), in dem du die Nullstellen oder die Werte der Funktion untersuchen möchtest. 2. **Wähle ein Näherungsverfahren**: Zum Beispiel das Newton-Verfahren, das eine iterative Methode ist, um die Nullstellen einer Funktion zu finden. 3. **Berechne die Ableitung**: Für das Newton-Verfahren benötigst du die Ableitung von \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{50 \cdot \ln(x)}{e^x} \right) \] Dies kann mit der Quotientenregel erfolgen. 4. **Iteriere**: Beginne mit einem Startwert \( x_0 \) und wende die Formel an: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] Wiederhole diesen Schritt, bis die Änderung zwischen den Iterationen kleiner als 0,001 ist. 5. **Ergebnisse**: Wenn du die Koordinaten (x, f(x)) berechnet hast, stelle sicher, dass du die Werte auf Tausendstel genau angibst. Für eine genauere Berechnung wäre es hilfreich, spezifische Werte oder einen Bereich für \( x \) zu kennen.

Ja, es gibt determinierte (also festgelegte, nicht-probierende) Konstruktionen, mit denen man einem gedrittelten Winkel beliebig genau näherkommen kann – allerdings immer nur näherungsweise, nicht exakt mit Zirkel und Lineal. Das liegt daran, dass die exakte Dreiteilung eines beliebigen Winkels mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen unmöglich ist (dies wurde im 19. Jahrhundert mathematisch bewiesen). **Determinierte Konstruktionen** sind zum Beispiel: - **Konstruktionen mit regelmäßigen Vielecken:** Man kann mit Zirkel und Lineal regelmäßige Vielecke konstruieren, deren Innenwinkel sich bestimmten Winkeln annähern. Je mehr Ecken das Vieleck hat, desto näher kommt man an die gewünschte Winkeldrittelung. - **Iterative Verfahren:** Es gibt festgelegte, schrittweise Verfahren (z.B. mit Hilfe von Näherungsformeln oder bestimmten Teilungskonstruktionen), die deterministisch sind und mit jedem Schritt die Annäherung verbessern. - **Approximation mit Kettenbrüchen:** Man kann den Kosinus des Drittelwinkels durch Kettenbrüche oder Polynome approximieren und daraus eine determinierte Konstruktion ableiten. **Wichtig:** All diese Methoden liefern nur eine Annäherung, aber keine exakte Dreiteilung mit Zirkel und Lineal. Exakte Dreiteilungen sind nur für bestimmte Winkel (z.B. 90°, 180°) möglich. **Fazit:** Es gibt determinierte, also festgelegte, nicht-probierende Konstruktionsverfahren, mit denen man die Dreiteilung eines Winkels beliebig genau annähern kann. Eine exakte Dreiteilung ist jedoch im Allgemeinen mit Zirkel und Lineal nicht möglich. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Dreiteilung des Winkels](https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels).