2 Fragen zu Dreiersystem

Ein Dreiersystem, auch Ternärsystem genannt, ist ein Zahlensystem, das zur Basis 3 arbeitet. Das bedeutet, dass es nur drei Ziffern verwendet: 0, 1 und 2. Jede Position in einer Zahl im Dreiersystem repräsentiert eine Potenz von 3, ähnlich wie im Dezimalsystem jede Position eine Potenz von 10 repräsentiert. Beispiel: - Die Zahl 102 im Dreiersystem entspricht im Dezimalsystem: \(1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = 9 + 0 + 2 = 11\). Das Dreiersystem wird in bestimmten mathematischen und informatischen Anwendungen verwendet, ist aber im Alltag weniger gebräuchlich als das Dezimalsystem.

Um die Zahlen 120102 und 211101 im Dreiersystem zu multiplizieren und das Ergebnis in 5-adischer Darstellung zu erhalten, sind mehrere Schritte erforderlich: 1. **Umwandlung der Zahlen ins Dezimalsystem**: - 120102 im Dreiersystem: \[ 1 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^4 + 0 \cdot 3^3 + 1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = 243 + 162 + 0 + 9 + 0 + 2 = 416 \] - 211101 im Dreiersystem: \[ 2 \cdot 3^5 + 1 \cdot 3^4 + 1 \cdot 3^3 + 1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 486 + 81 + 27 + 9 + 0 + 1 = 604 \] 2. **Multiplikation der Dezimalzahlen**: \[ 416 \cdot 604 = 251584 \] 3. **Umwandlung des Ergebnisses in die 5-adische Darstellung**: Um 251584 in die 5-adische Darstellung zu konvertieren, wird die Zahl in der Basis 5 dargestellt. Dies geschieht durch wiederholte Division durch 5 und Aufzeichnung der Reste: - \( 251584 \div 5 = 50316 \) Rest \( 4 \) - \( 50316 \div 5 = 10063 \) Rest \( 1 \) - \( 10063 \div 5 = 2012 \) Rest \( 3 \) - \( 2012 \div 5 = 402 \) Rest \( 2 \) - \( 402 \div 5 = 80 \) Rest \( 2 \) - \( 80 \div 5 = 16 \) Rest \( 0 \) - \( 16 \div 5 = 3 \) Rest \( 1 \) - \( 3 \div 5 = 0 \) Rest \( 3 \) Die Reste in umgekehrter Reihenfolge ergeben die 5-adische Darstellung: \[ 251584_{10} = 31022134_5 \] Das Ergebnis der Multiplikation von 120102 und 211101 im Dreiersystem in 5-adischer Darstellung ist also \( 31022134_5 \).