2 Fragen zu Cauchy-folge

Die Cauchy-Formel, auch bekannt als Cauchys Integralformel, ist ein zentrales Resultat in der komplexen Analysis. Sie besagt, dass wenn \( f(z) \) eine holomorphe Funktion in einer einfach zusammenhängenden Region ist, die von einer geschlossenen Kurve \( C \) umschlossen wird, dann gilt: \[ f^{(n)}(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z - a)^{n+1}} \, dz \] für \( n \geq 0 \) und \( a \) innerhalb von \( C \). **Beispiel:** Sei \( f(z) = e^z \) und wir wollen den Wert von \( f'(0) \) berechnen. Hier ist \( a = 0 \) und \( n = 0 \). Die Cauchy-Formel für \( n = 0 \) lautet: \[ f(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z} \, dz \] Wählen wir \( C \) als den Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Dann ist: \[ f(z) = e^z \] Die Berechnung des Integrals ergibt: \[ \oint_C \frac{e^z}{z} \, dz \] Da \( e^z \) auf dem Kreis konstant ist, kann das Integral mit der Residuenmethode oder durch direkte Berechnung durchgeführt werden. Das Ergebnis ist \( 2\pi i \), was bedeutet, dass: \[ f(0) = 1 \] Für die Ableitung \( f'(0) \) können wir die Cauchy-Formel für \( n = 1 \) verwenden: \[ f'(0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{e^z}{z^2} \, dz \] Das Integral ergibt in diesem Fall \( 2\pi i \), was zu \( f'(0) = 1 \) führt, was mit der bekannten Ableitung von \( e^z \) übereinstimmt.

Das Cauchy-Kriterium ist ein wichtiges Konzept in der Analysis, insbesondere in der Theorie der reellen und komplexen Zahlen. Es dient dazu, die Konvergenz von Folgen und Reihen zu überprüfen. Eine Folge \((a_n)\) ist genau dann konvergent, wenn sie das Cauchy-Kriterium erfüllt. Das Kriterium besagt, dass eine Folge \((a_n)\) genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn für jede noch so kleine positive Zahl \(\epsilon > 0\) ein natürlicher Zahlen \(N\) existiert, sodass für alle \(m, n > N\) gilt: \[ |a_n - a_m| < \epsilon. \] Das bedeutet, dass die Elemente der Folge ab einem bestimmten Punkt beliebig nah beieinander liegen. Wenn eine Folge das Cauchy-Kriterium erfüllt, konvergiert sie in einem vollständigen Raum, wie den reellen oder komplexen Zahlen.