Was ist das Cauchy-Kriterium?

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Was ist das Cauchy-Kriterium?

Antwort

Verwandte Fragen

Ist die Beschränktheit der Partialsummen s_n = ∑(von k=1 bis n) a_k notwendig, hinreichend oder keines für die Konvergenz der Reihe ∑(von k=1 bis ∞) a_k?

Bestimme das größtmögliche R≥0 für die absolute Konvergenz der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (x^k)/k² mit |x|<R.

Bestimme das größtmögliche R≥0, dass die Reihe ∑ ((-1)^k)/(k²) *x^(2k+4) für |x|<R absolut konvergiert.

Bestimme das größtmögliche R≥0, dass die Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (k!)/(k^k) * x^k für alle x∈R mit |x|<R absolut konvergiert. Ergebnis auf drei Nachkommastellen?

Wie ist das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) ((−1)^k)* (2^k)/(k!)?

Entscheide das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (((−1)^k)/(2k-1)).

Entscheide das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (((−1)^k)/((1/2)^k)).

Accepted Answer

Das Cauchy-Kriterium ist ein wichtiges Konzept in der Analysis, insbesondere in der Theorie der reellen und komplexen Zahlen. Es dient dazu, die Konvergenz von Folgen und Reihen zu überprüfen. Eine Folge \((a_n)\) ist genau dann konvergent, wenn sie das Cauchy-Kriterium erfüllt. Das Kriterium besagt, dass eine Folge \((a_n)\) genau dann eine Cauchy-Folge ist, wenn für jede noch so kleine positive Zahl \(\epsilon > 0\) ein natürlicher Zahlen \(N\) existiert, sodass für alle \(m, n > N\) gilt: \[ |a_n - a_m| < \epsilon. \] Das bedeutet, dass die Elemente der Folge ab einem bestimmten Punkt beliebig nah beieinander liegen. Wenn eine Folge das Cauchy-Kriterium erfüllt, konvergiert sie in einem vollständigen Raum, wie den reellen oder komplexen Zahlen.

Accepted Answer

Die Bedingung, dass die Partialsummen \( s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) beschränkt sind, ist notwendig für die Konvergenz der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \). Wenn die Reihe \( \sum_{k=1}... [mehr]

Accepted Answer

Die Bedingung, dass die Partialsummen \( s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) beschränkt sind, ist notwendig für die Konvergenz der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \). Wenn die Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \) konvergiert, dann müssen die Partialsummen \( s_n \) einen Grenzwert haben, was bedeutet, dass sie beschränkt sind. Allerdings ist die Beschränktheit der Partialsummen nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe. Es gibt Reihen, deren Partialsummen beschränkt sind, aber die Reihe selbst divergiert, wie zum Beispiel die alternierende harmonische Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \), deren Partialsummen zwar beschränkt sind, aber nicht konvergieren. Zusammenfassend: Die Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \).

Accepted Answer

Um das größtmögliche \( R \geq 0 \) zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2} \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut... [mehr]

Accepted Answer

Um das größtmögliche \( R \geq 0 \) zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2} \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut konvergiert, können wir den Wurzel- oder den Quotiententest verwenden. Hier verwenden wir den Quotiententest. Betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe: \[ a_k = \frac{x^k}{k^2}. \] Wir berechnen den Quotienten \( \frac{a_{k+1}}{a_k} \): \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)^2}}{\frac{x^k}{k^2}} = \frac{x^{k+1} \cdot k^2}{x^k \cdot (k+1)^2} = \frac{x \cdot k^2}{(k+1)^2}. \] Für große \( k \) vereinfacht sich dieser Ausdruck zu: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \approx \frac{x \cdot k^2}{k^2} = x. \] Der Quotiententest besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert des Quotienten kleiner als 1 ist: \[ |x| < 1. \] Das bedeutet, dass die Reihe für \( |x| < 1 \) absolut konvergiert. Daher ist das größtmögliche \( R \) gleich 1. Zusammenfassend ergibt sich: \[ R = 1.000. \]

Accepted Answer

Um das größtmögliche \( R \geq 0 \) zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k+4} \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R... [mehr]

Accepted Answer

Um das größtmögliche \( R \geq 0 \) zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k+4} \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut konvergiert, betrachten wir zunächst die allgemeine Form der Reihe. Die Reihe kann umgeschrieben werden als: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k+4} = x^4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k} \] Die innere Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k} \] ist eine alternierende Reihe. Um die Konvergenz zu untersuchen, verwenden wir den Leibniz-Kriterium für die Alternierende Reihe, das besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn die Beträge der Terme monoton fallen und gegen null konvergieren. Die Terme der Reihe sind: \[ a_k = \frac{x^{2k}}{k^2} \] Für die absolute Konvergenz betrachten wir die Reihe: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k^2} \] Diese Reihe ist eine Potenzreihe in \( x^2 \). Um den Konvergenzradius \( R \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Konvergenzradius einer Potenzreihe: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} \] Hier ist \( a_k = \frac{1}{k^2} \) und wir betrachten \( |x|^{2k} \). Der Konvergenzradius der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k^2} \) ist gegeben durch: \[ R = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{k^2}} = 1 \] Das bedeutet, dass die Reihe für \( |x^2| < 1 \) konvergiert, also für \( |x| < 1 \). Daher ist das größtmögliche \( R \) für die absolute Konvergenz der gegebenen Reihe: \[ R = 1 \] Auf drei Nachkommastellen gerundet ist das Ergebnis: \[ R = 1.000 \]

Accepted Answer

Um den größtmöglichen Radius \( R \) zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) abso... [mehr]

Accepted Answer

Um den größtmöglichen Radius \( R \) zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut konvergiert, verwenden wir den Wurzel- oder Quotiententest. Hier ist der Quotiententest anwendbar. Betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe: \[ a_k = \frac{k!}{k^k} x^k. \] Wir berechnen den Quotienten \( \frac{a_{k+1}}{a_k} \): \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} x^{k+1} \cdot \frac{k^k}{k! x^k} = \frac{(k+1) k^k}{(k+1)^{k+1}} x = \frac{k^k}{(k+1)^k} x. \] Nun vereinfachen wir den Ausdruck: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \left( \frac{k}{k+1} \right)^k x. \] Für große \( k \) gilt: \[ \left( \frac{k}{k+1} \right)^k = \left( 1 - \frac{1}{k+1} \right)^k \approx e^{-1} \quad \text{(nach dem Grenzwert von } \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \text{)}. \] Somit ergibt sich: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \approx e^{-1} x. \] Für die Konvergenz der Reihe muss der Grenzwert des Quotienten kleiner als 1 sein: \[ |e^{-1} x| < 1 \implies |x| < e. \] Daraus folgt, dass der Radius der Konvergenz \( R = e \) ist. Das Ergebnis auf drei Nachkommastellen lautet: \[ R \approx 2.718. \]

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \] zu bestimmen, können wir zunächst die absolute Konvergenz prüfen. Dazu betrachten wir die R... [mehr]

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \] zu bestimmen, können wir zunächst die absolute Konvergenz prüfen. Dazu betrachten wir die Reihe der Beträge: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}. \] Diese Reihe ist die Taylorreihe für die Exponentialfunktion \(e^x\) bei \(x = 2\): \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = e^2. \] Da die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}\) konvergiert (sie ist eine konvergente Exponentialreihe), folgt, dass die ursprüngliche Reihe absolut konvergent ist. Da die Reihe sowohl konvergent als auch absolut konvergent ist, ist die Antwort: **Absolut konvergent.**

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \] zu bestimmen, können wir den Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen anwenden. Eine alternierende Rei... [mehr]

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \] zu bestimmen, können wir den Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen anwenden. Eine alternierende Reihe \(\sum (-1)^k a_k\) konvergiert, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. \(a_k \geq a_{k+1}\) für alle \(k\) (die Folge der Beträge ist monoton fallend). 2. \(\lim_{k \to \infty} a_k = 0\). In diesem Fall ist \(a_k = \frac{1}{2k-1}\). 1. **Monotonie**: Es gilt \(a_k = \frac{1}{2k-1} \geq a_{k+1} = \frac{1}{2(k+1)-1} = \frac{1}{2k+1}\), was zeigt, dass die Folge monoton fallend ist. 2. **Grenzwert**: Der Grenzwert ist \(\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k-1} = 0\). Da beide Bedingungen erfüllt sind, konvergiert die Reihe. Um die absolute Konvergenz zu überprüfen, betrachten wir die Reihe der Beträge: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{2k-1} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1}. \] Diese Reihe ist die harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist die ursprüngliche Reihe nicht absolut konvergent. Zusammenfassend ist die Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die richtige Antwort ist also: **Konvergent, aber nicht absolut konvergent.**

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(1/2)^k} \] zu untersuchen, können wir die Reihe umformen. Der Ausdruck \((1/2)^k\) kann als \(2^{-k}\) geschrieben we... [mehr]

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(1/2)^k} \] zu untersuchen, können wir die Reihe umformen. Der Ausdruck \((1/2)^k\) kann als \(2^{-k}\) geschrieben werden, sodass die Reihe wie folgt aussieht: \[ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot 2^k \] Das bedeutet, dass die Reihe tatsächlich die Form \[ \sum_{k=1}^{\infty} (-2)^k \] hat. Diese Reihe ist eine geometrische Reihe mit dem ersten Term \(-2\) und dem Faktor \(r = -2\). Eine geometrische Reihe konvergiert nur, wenn der Betrag des Faktors \(r\) kleiner als 1 ist, also \(|r| < 1\). In diesem Fall ist \(|-2| = 2\), was größer als 1 ist. Daher divergiert die Reihe. Die Antwort ist: **Divergent.**