Vertragsbeginn 1.12.2016, Vertragsende 1.12.2055; 1. Prämie = 100 Euro und sie wird jedes Jahr ab 2017 um 2,5 Euro erhöht. Wie hoch sind die Gesamtkosten?

Um die Gesamtkosten zu berechnen, muss man die Summe der jährlichen Prämien über die gesamte Vertragslaufzeit ermitteln. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess:

1. **Vertragslaufzeit berechnen:**
- Vertragsbeginn: 1.12.2016
- Vertragsende: 1.12.2055
- Laufzeit: 2055 - 2016 = 39 Jahre

2. **Prämienberechnung:**
- Anfangsprämie: 100 Euro
- Jährliche Erhöhung: 2,5 Euro

3. **Summe der Prämien:**
- Die Prämien bilden eine arithmetische Reihe, bei der die erste Prämie \(a = 100\) Euro und die jährliche Erhöhung \(d = 2,5\) Euro beträgt.
- Die n-te Prämie (letzte Prämie) kann mit der Formel \(a_n = a + (n-1) \cdot d\) berechnet werden, wobei \(n\) die Anzahl der Jahre ist.

Für \(n = 39\):
\[
a_{39} = 100 + (39-1) \cdot 2,5 = 100 + 38 \cdot 2,5 = 100 + 95 = 195 \text{ Euro}
\]

4. **Summe der arithmetischen Reihe:**
- Die Summe \(S_n\) einer arithmetischen Reihe kann mit der Formel \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + a_n)\) berechnet werden.

Für \(n = 39\):
\[
S_{39} = \frac{39}{2} \cdot (100 + 195) = 19,5 \cdot 295 = 5752,5 \text{ Euro}
\]

Die Gesamtkosten über die gesamte Vertragslaufzeit betragen also 5752,5 Euro.