Wie viele Jahre hat es gedauert, bis sich ein Kapital von 2,5% p.a. verdreifacht hat?

Um zu berechnen, wie viele Jahre es dauert, bis sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 2,5% pro Jahr verdreifacht, kann die Formel für den Zinseszins verwendet werden: \[ K(t) = K_0 \cdot (1 + \frac{r}{100})^t \] Hierbei ist: - \( K(t) \) das Endkapital, - \( K_0 \) das Anfangskapital, - \( r \) der Zinssatz, - \( t \) die Anzahl der Jahre. Da sich das Kapital verdreifacht hat, gilt: \[ K(t) = 3 \cdot K_0 \] Setze dies in die Zinseszinsformel ein: \[ 3 \cdot K_0 = K_0 \cdot (1 + \frac{2,5}{100})^t \] Teile beide Seiten durch \( K_0 \): \[ 3 = (1 + 0,025)^t \] Das vereinfacht sich zu: \[ 3 = 1,025^t \] Um \( t \) zu finden, wende den Logarithmus an: \[ \log(3) = t \cdot \log(1,025) \] Löse nach \( t \) auf: \[ t = \frac{\log(3)}{\log(1,025)} \] Berechne dies: \[ t \approx \frac{0,4771}{0,0107} \approx 44,6 \] Es dauert also ungefähr 44,6 Jahre, bis sich das Kapital bei einem Zinssatz von 2,5% pro Jahr verdreifacht.