Die Internationale Physik-Olympiade (IPhO) ist bekannt für ihre anspruchsvollen Aufgaben. Hier ist ein Beispiel für ein schwieriges Problem aus der Thermodynamik: **Problem:** Ein ideales Gas durchläuft einen zyklischen Prozess, der aus den folgenden vier Schritten besteht: 1. **Isotherme Expansion:** Das Gas expandiert isotherm (bei konstanter Temperatur \( T_1 \)) von einem Volumen \( V_1 \) zu einem Volumen \( V_2 \). 2. **Adiabatische Expansion:** Das Gas expandiert adiabatisch (ohne Wärmeaustausch) von \( V_2 \) zu einem Volumen \( V_3 \), wobei die Temperatur auf \( T_2 \) sinkt. 3. **Isotherme Kompression:** Das Gas wird isotherm bei der Temperatur \( T_2 \) von \( V_3 \) zu einem Volumen \( V_4 \) komprimiert. 4. **Adiabatische Kompression:** Das Gas wird adiabatisch von \( V_4 \) zu \( V_1 \) komprimiert, wobei die Temperatur wieder auf \( T_1 \) steigt. **Aufgaben:** a) Bestimme die Arbeit, die das Gas in jedem der vier Schritte leistet. b) Berechne die Gesamtarbeit, die während des gesamten Zyklus geleistet wird. c) Bestimme die Effizienz des Zyklus und vergleiche sie mit der Effizienz eines Carnot-Zyklus, der zwischen den Temperaturen \( T_1 \) und \( T_2 \) arbeitet. **Lösungshinweise:** 1. **Isotherme Expansion (Schritt 1):** - Die Arbeit \( W_1 \) bei isothermer Expansion ist gegeben durch: \[ W_1 = nRT_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \] 2. **Adiabatische Expansion (Schritt 2):** - Für adiabatische Prozesse gilt: \[ T_1 V_2^{\gamma-1} = T_2 V_3^{\gamma-1} \] - Die Arbeit \( W_2 \) bei adiabatischer Expansion ist: \[ W_2 = \frac{nR}{\gamma-1} (T_1 - T_2) \] 3. **Isotherme Kompression (Schritt 3):** - Die Arbeit \( W_3 \) bei isothermer Kompression ist: \[ W_3 = nRT_2 \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right) \] 4. **Adiabatische Kompression (Schritt 4):** - Für adiabatische Prozesse gilt: \[ T_2 V_4^{\gamma-1} = T_1 V_1^{\gamma-1} \] - Die Arbeit \( W_4 \) bei adiabatischer Kompression ist: \[ W_4 = \frac{nR}{\gamma-1} (T_2 - T_1) \] 5. **Gesamtarbeit des Zyklus:** - Die Gesamtarbeit \( W_{ges} \) ist die Summe der Arbeiten in den vier Schritten: \[ W_{ges} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 \] 6. **Effizienz des Zyklus:** - Die Effizienz \( \eta \) ist das Verhältnis der geleisteten Arbeit zur zugeführten Wärme: \[ \eta = \frac{W_{ges}}{Q_{zu}} \] - Vergleiche diese Effizienz mit der Carnot-Effizienz: \[ \eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \] Dieses Problem erfordert ein tiefes Verständnis der thermodynamischen Prozesse und die Fähigkeit, komplexe Berechnungen durchzuführen.