Wie löst man eine gemischt quadratische Gleichung?

Eine gemischt quadratische Gleichung hat die Form \( ax^2 + bx + c = 0 \), wobei \( a \), \( b \) und \( c \) Konstanten sind und \( a \neq 0 \). Um diese Gleichung zu lösen, kannst du die Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Formel) verwenden:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Hier sind die Schritte zur Lösung:

1. **Bestimme die Koeffizienten**: Identifiziere \( a \), \( b \) und \( c \) in deiner Gleichung.
2. **Berechne die Diskriminante**: Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel, \( \Delta = b^2 - 4ac \).
3. **Untersuche die Diskriminante**:
- Wenn \( \Delta > 0 \), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
- Wenn \( \Delta = 0 \), gibt es eine doppelte reelle Lösung.
- Wenn \( \Delta < 0 \), gibt es zwei komplexe Lösungen.
4. **Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein**: Berechne die Lösungen \( x_1 \) und \( x_2 \) mit der Formel.

Beispiel:
Gegeben sei die Gleichung \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \).

1. **Koeffizienten**: \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = -2 \).
2. **Diskriminante**: \( \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).
3. **Mitternachtsformel**:
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4} \]
4. **Lösungen**:
- \( x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \)
- \( x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \)

Die Lösungen der Gleichung \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) sind also \( x = 0,5 \) und \( x = -2 \).