Wie berechnet man die Mondmasse aus der 3. Keplerschen Formel?

Um die Masse des Mondes mithilfe der dritten Keplerschen Formel zu berechnen, benötigst du die Umlaufzeit eines Satelliten um den Mond und den Abstand dieses Satelliten vom Mondmittelpunkt. Die dritte Keplersche Formel lautet:

\[ T^2 = \frac{4 \pi^2}{G (M + m)} a^3 \]

Hierbei ist:
- \( T \) die Umlaufzeit des Satelliten,
- \( G \) die Gravitationskonstante (\(6,67430 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2}\)),
- \( M \) die Masse des Mondes,
- \( m \) die Masse des Satelliten (die oft vernachlässigt werden kann, wenn \( m \) viel kleiner als \( M \) ist),
- \( a \) die große Halbachse der Umlaufbahn des Satelliten (im Fall einer kreisförmigen Umlaufbahn entspricht dies dem Radius der Umlaufbahn).

Da die Masse des Satelliten \( m \) im Vergleich zur Masse des Mondes \( M \) sehr klein ist, kann sie oft vernachlässigt werden. Die Formel vereinfacht sich dann zu:

\[ T^2 \approx \frac{4 \pi^2}{G M} a^3 \]

Um die Masse des Mondes \( M \) zu berechnen, kannst du die Formel nach \( M \) umstellen:

\[ M \approx \frac{4 \pi^2 a^3}{G T^2} \]

Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess:

1. Bestimme die Umlaufzeit \( T \) des Satelliten um den Mond.
2. Bestimme den Abstand \( a \) des Satelliten vom Mondmittelpunkt.
3. Setze die Werte für \( T \), \( a \) und die Gravitationskonstante \( G \) in die umgestellte Formel ein.

Beispiel:
Angenommen, ein Satellit umkreist den Mond in einer Höhe von 100 km über der Mondoberfläche. Der Mondradius beträgt etwa 1.737 km, also ist der Abstand \( a \) vom Mondmittelpunkt 1.837 km (1.737 km + 100 km). Die Umlaufzeit \( T \) sei 2 Stunden (7.200 Sekunden).

\[ a = 1.837 \times 10^3 \, \text{m} \]
\[ T = 7.200 \, \text{s} \]

Setze diese Werte in die Formel ein:

\[ M \approx \frac{4 \pi^2 (1.837 \times 10^3)^3}{6.67430 \times 10^{-11} \times (7.200)^2} \]

Berechne den Wert:

\[ M \approx \frac{4 \pi^2 (6.204 \times 10^{9})}{6.67430 \times 10^{-11} \times 5.184 \times 10^{7}} \]

\[ M \approx \frac{4 \pi^2 \times 6.204 \times 10^{9}}{3.459 \times 10^{-3}} \]

\[ M \approx \frac{2.467 \times 10^{11}}{3.459 \times 10^{-3}} \]

\[ M \approx 7.13 \times 10^{13} \, \text{kg} \]

Dies ist eine stark vereinfachte Berechnung und dient nur zur Veranschaulichung. Die tatsächliche Masse des Mondes beträgt etwa \( 7.35 \times 10^{22} \, \text{kg} \).