In welcher Höhe beträgt der Luftdruck in einer isothermen Atmosphäre die Hälfte des Drucks am Boden von 1,013 bar bei einer Luftdichte von 1,293 kg/m³?

In einer isothermen Atmosphäre kann der Luftdruck mit der barometrischen Formel beschrieben werden. Der Druck \( P \) in einer Höhe \( h \) ist gegeben durch:

\[
P(h) = P_0 \cdot e^{-\frac{mgh}{RT}}
\]

Dabei ist:
- \( P_0 \) der Druck am Boden (1,013 bar),
- \( m \) die molare Masse der Luft (ca. 0,029 kg/mol),
- \( g \) die Erdbeschleunigung (ca. 9,81 m/s²),
- \( R \) die universelle Gaskonstante (ca. 8,314 J/(mol·K)),
- \( T \) die Temperatur in Kelvin.

Da der Druck auf die Hälfte sinken soll, setzen wir \( P(h) = \frac{P_0}{2} \).

Um die Höhe \( h \) zu finden, setzen wir die Werte in die Gleichung ein und lösen nach \( h \) auf. Zuerst berechnen wir die Temperatur \( T \) aus der Dichte:

Die Dichte \( \rho \) ist gegeben durch:

\[
\rho = \frac{P}{RT}
\]

Um \( T \) zu finden, stellen wir die Gleichung um:

\[
T = \frac{P}{\rho R}
\]

Setzen wir die Werte ein:

\[
T = \frac{1,013 \times 10^5 \, \text{Pa}}{1,293 \, \text{kg/m}^3 \cdot 287 \, \text{J/(kg·K)}} \approx 288 \, \text{K}
\]

Jetzt setzen wir \( P(h) = \frac{1,013 \, \text{bar}}{2} = 0,5065 \, \text{bar} = 50650 \, \text{Pa} \) in die barometrische Formel ein:

\[
50650 = 101300 \cdot e^{-\frac{0,029 \cdot 9,81 \cdot h}{8,314 \cdot 288}}
\]

Nun lösen wir die Gleichung nach \( h \) auf:

\[
\frac{50650}{101300} = e^{-\frac{0,029 \cdot 9,81 \cdot h}{8,314 \cdot 288}}
\]

\[
0,5 = e^{-\frac{0,029 \cdot 9,81 \cdot h}{8,314 \cdot 288}}
\]

Nehmen wir den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten:

\[
\ln(0,5) = -\frac{0,029 \cdot 9,81 \cdot h}{8,314 \cdot 288}
\]

Jetzt können wir \( h \) berechnen:

\[
h = -\frac{\ln(0,5) \cdot 8,314 \cdot 288}{0,029 \cdot 9,81}
\]

Setze die Werte ein und berechne \( h \):

\[
h \approx -\frac{-0,693 \cdot 8,314 \cdot 288}{0,029 \cdot 9,81} \approx 5000 \, \text{m}
\]

Der Luftdruck sinkt auf die Hälfte in einer Höhe von etwa 5000 Metern.