Welche drei Fälle werden bei einem System zweiter Ordnung hinsichtlich des Dämpfungsgrades D unterschieden?

Question

Welche drei Fälle werden bei einem System zweiter Ordnung hinsichtlich des Dämpfungsgrades D unterschieden?

Antwort

Verwandte Fragen

Was ist ein Regelkreis einfach erklärt?

Warum können Massenkräfte 4. und 8. Ordnung bei Kolbenmaschinen theoretisch vernachlässigt werden?

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Bei einem System zweiter Ordnung werden hinsichtlich des Dämpfungsgrades \( D \) drei Fälle unterschieden: 1. **Überdämpfung (\( D > 1 \))**: In diesem Fall kehrt das System ohne Oszillation langsam zum Gleichgewichtszustand zurück. Die Rückkehr erfolgt langsamer als im kritischen Dämpfungsfall. 2. **Kritische Dämpfung (\( D = 1 \))**: Hier kehrt das System am schnellsten ohne Oszillation zum Gleichgewichtszustand zurück. Dies ist der Grenzfall zwischen Überdämpfung und Unterdämpfung. 3. **Unterdämpfung (\( 0 < D < 1 \))**: Das System kehrt oszillierend zum Gleichgewichtszustand zurück. Die Amplitude der Oszillation nimmt dabei exponentiell ab. Diese drei Fälle beschreiben, wie ein System auf eine Störung reagiert und wie schnell es wieder in den Ruhezustand zurückkehrt.

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Ein Regelkreis ist ein System, das eine Größe (z. B. Temperatur) automatisch misst, mit einem gewünschten Wert vergleicht und bei Abweichungen selbstständig korrigiert, um den Sol... [mehr]

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Ein Regelkreis ist ein System, das eine Größe (z. B. Temperatur) automatisch misst, mit einem gewünschten Wert vergleicht und bei Abweichungen selbstständig korrigiert, um den Sollwert zu erreichen.

Kategorie: Technik Tags: Regelkreis Regelung System

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Bei Kolbenmaschinen (z. B. Hubkolbenmotoren) entstehen durch die hin- und hergehende Bewegung der Kolben sogenannte Massenkräfte. Diese Massenkräfte lassen sich mathematisch als eine Reihe v... [mehr]

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Bei Kolbenmaschinen (z. B. Hubkolbenmotoren) entstehen durch die hin- und hergehende Bewegung der Kolben sogenannte Massenkräfte. Diese Massenkräfte lassen sich mathematisch als eine Reihe von harmonischen Schwingungen (Ordnungen) beschreiben, die sich aus der Bewegung der Kolben ergeben. **Warum kann man die 4. und 8. Ordnung theoretisch weglassen?** Die Massenkräfte entstehen durch die Projektion der Kreisbewegung des Kurbeltriebs auf die Kolbenachse. Diese Projektion lässt sich mit Hilfe einer Reihenentwicklung (Fourier-Reihe) beschreiben. Die resultierende Bewegung enthält nur bestimmte Harmonische: - Die **1. Ordnung** (Grundschwingung) entspricht der Kurbelwellenumdrehung. - Die **2. Ordnung** entsteht durch die Geometrie des Kurbeltriebs (Verhältnis von Pleuellänge zu Kurbelradius). - Höhere Ordnungen (3., 4., 5., …) sind theoretisch möglich. **Mathematischer Hintergrund:** Die Kolbenbewegung (und damit die Massenkräfte) lässt sich als Funktion des Kurbelwinkels darstellen. Bei der Entwicklung dieser Funktion in eine Fourier-Reihe zeigt sich, dass nur die geradzahligen Ordnungen (2., 4., 6., …) auftreten. Allerdings ist die Amplitude der 4. und 8. Ordnung (und aller Vielfachen von 4) **theoretisch null**. Das liegt an der mathematischen Struktur der Bewegungsgleichung: - Die Kolbenbewegung enthält Terme wie cos(α) und cos(2α), aber keine cos(4α), cos(8α), usw. - Die 4. und 8. Ordnung treten in der Fourier-Entwicklung der Kolbenbeschleunigung **nicht auf**. **Praktische Bedeutung:** - In der Praxis sind die Massenkräfte 4. und 8. Ordnung so klein, dass sie vernachlässigbar sind. - Sie entstehen nur durch sehr kleine Nichtlinearitäten oder Fertigungstoleranzen, aber nicht durch die ideale Geometrie des Kurbeltriebs. **Fazit:** Die 4. und 8. Ordnung der Massenkräfte bei Kolbenmaschinen können theoretisch weggelassen werden, weil sie in der mathematischen Beschreibung der Kolbenbewegung nicht vorkommen und ihre Amplituden im Idealfall null sind. **Weiterführende Informationen:** - [Wikipedia: Massenkräfte bei Kolbenmaschinen](https://de.wikipedia.org/wiki/Massenkraft) - [Kurbeltrieb – Harmonische Analyse](https://de.wikipedia.org/wiki/Kurbeltrieb#Harmonische_Analyse)