Wie wandle ich ein PT1-Glied in die Z-Transformation um?

Um ein PT1-Glied (Proportional-Integral-Glied) in die Z-Transformation umzuwandeln, kannst du die Übertragungsfunktion eines PT1-Gliedes betrachten, die in der Regel die Form hat:

\[ H(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \]

Hierbei ist \( K \) die Verstärkung und \( \tau \) die Zeitkonstante.

Um die Z-Transformation durchzuführen, kannst du die bilineare Transformation oder die Impulsinvarianz verwenden. Eine gängige Methode ist die bilineare Transformation, die die Beziehung zwischen der s- und der z-Ebene herstellt. Die bilineare Transformation lautet:

\[ s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \]

Hierbei ist \( T \) die Abtastzeit.

Setze \( s \) in die Übertragungsfunktion ein und forme sie um:

1. Ersetze \( s \) in der Übertragungsfunktion:
\[ H(z) = \frac{K}{\tau \left( \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \right) + 1} \]

2. Vereinfache den Ausdruck.

3. Multipliziere den Zähler und den Nenner mit \( (1 + z^{-1}) \), um die Z-Übertragungsfunktion in eine gebräuchliche Form zu bringen.

Das Ergebnis ist die Z-Übertragungsfunktion des PT1-Gliedes.