Ja, „Glückwunsch zum Geburtstag“ reicht grundsätzlich aus, um jemandem zum Geburtstag zu gratulieren. Es ist eine kurze und neutrale Formulierung. Allerdings wirkt „Herzlichen Glückwunsch zum Geburtstag“ oder „Alles Gute zum Geburtstag“ oft etwas persönlicher und freundlicher. Die Wahl hängt davon ab, wie nah du der Person stehst und wie formell oder informell die Gratulation sein soll.