Grammatisch richtig ist "Darf ich mit Karte bezahlen?" Diese Formulierung ist im Präsens und wird verwendet, um eine Erlaubnis zu erfragen. "Dürfte ich mit Karte bezahlen?" ist im Konjunktiv II und wird oft verwendet, um höflicher oder hypothetischer um Erlaubnis zu bitten, ist aber in der Alltagssprache weniger gebräuchlich.