Peter und Paul ziehen abwechselnd Kugeln aus einer Urne mit drei roten und zwei schwarzen Kugeln. Peter legt seine gezogene Kugel zurück, Paul hingegen nicht. Wer gewinnt, wenn Peter beginnt und wer zuerst schwarz zieht?

Um das Spiel zu analysieren, betrachten wir die möglichen Szenarien, wenn Peter beginnt. Es gibt insgesamt fünf Kugeln: drei rote (R) und zwei schwarze (S).

1. **Peter zieht eine Kugel:**
- **Fall 1:** Peter zieht eine rote Kugel (Wrscheinlichkeit: 3/5). In diesem Fall bleibt die Situation unverändert, und Paul ist am Zug.
- **Fall 2:** Peter zieht eine schwarze Kugel (Wahrscheinlichkeit: 2/5). Peter hat gewonnen, da er zuerst eine schwarze Kugel zieht.

2. **Wenn Paul am Zug ist (nach dem ersten Fall):**
- **Fall 1a:** Paul zieht eine rote Kugel (Wahrscheinlichkeit: 3/5). Peter ist wieder am Zug.
- **Fall 1b:** Paul zieht eine schwarze Kugel (Wahrscheinlichkeit: 2/5). Paul hat gewonnen.

Die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Szenarien sind wie folgt:

- Peter gewinnt sofort, wenn er eine schwarze Kugel zieht: \( P(Peter \text{ gewinnt}) = \frac{2}{5} \).
- Wenn Peter eine rote Kugel zieht, gibt es eine \( \frac{3}{5} \) Chance, dass Paul am Zug ist. In diesem Fall:
- Paul hat eine \( \frac{2}{5} \) Chance zu gewinnen, wenn er eine schwarze Kugel zieht.
- Peter hat eine \( \frac{3}{5} \) Chance, dass Paul eine rote Kugel zieht, und dann ist Peter wieder am Zug.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Peter gewinnt, kann als unendliche geometrische Reihe betrachtet werden, da das Spiel in den Zustand zurückkehrt, in dem Peter wieder am Zug ist, wenn Paul eine rote Kugel zieht.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass Peter gewinnt, ist also:

\[
P(Peter \text{ gewinnt}) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \cdot \left( \frac{3}{5} \cdot P(Peter \text{ gewinnt}) \right)
\]

Setzen wir \( P(Peter \text{ gewinnt}) = p \):

\[
p = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot p
\]

\[
p = \frac{2}{5} + \frac{9}{25} p
\]

Um \( p \) zu isolieren, bringen wir alle \( p \)-Term auf eine Seite:

\[
p - \frac{9}{25} p = \frac{2}{5}
\]

\[
\left(1 - \frac{9}{25}\right) p = \frac{2}{5}
\]

\[
\frac{16}{25} p = \frac{2}{5}
\]

Multiplizieren wir beide Seiten mit \( \frac{25}{16} \):

\[
p = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{50}{80} = \frac{5}{8}
\]

Somit gewinnt Peter mit einer Wahrscheinlichkeit von \( \frac{5}{8} \).