Wie erhalte ich die Jacobian eines translatorisch verschobenen Punktes meines Roboters?

Um die Jacobian-Matrix eines Roboters von einem Punkt zu einem anderen Punkt zu erhalten, der nur translatorisch verschoben ist, kannst du die folgenden Schritte befolgen:

1. **Identifiziere die Verschiebung**: Bestimme den Vektor, der die translatorische Verschiebung zwischen den beiden Punkten beschreibt. Dieser Vektor wird oft als \( \mathbf{d} \) bezeichnet.

2. **Berechne die neue Jacobian-Matrix**: Die Jacobian-Matrix \( \mathbf{J} \) an einem Punkt beschreibt, wie sich die Endeffektor-Position in Bezug auf die Gelenkwinkel ändert. Wenn du die Jacobian-Matrix an einem Punkt \( \mathbf{p} \) hast, kannst du die Jacobian-Matrix an einem Punkt \( \mathbf{p'} \), der um \( \mathbf{d} \) verschoben ist, wie folgt anpassen:

\[
\mathbf{J'} = \mathbf{J} + \mathbf{J}_{trans}
\]

Hierbei ist \( \mathbf{J}_{trans} \) die Jacobian-Matrix, die die Auswirkungen der translatorischen Verschiebung beschreibt. Diese kann oft als \( \mathbf{J}_{trans} = \begin{bmatrix} \frac{\partial \mathbf{p'}}{\partial q_1} & \frac{\partial \mathbf{p'}}{\partial q_2} & \ldots & \frac{\partial \mathbf{p'}}{\partial q_n} \end{bmatrix} \) formuliert werden, wobei \( q_i \) die Gelenkwinkel sind.

3. **Berücksichtige die Verschiebung**: Wenn die Verschiebung rein translatorisch ist, bleibt die Struktur der Jacobian-Matrix in Bezug auf die Gelenkwinkel gleich, aber du musst die Position des Endeffektors um den Verschiebungsvektor \( \mathbf{d} \) anpassen.

4. **Zusammenführen der Matrizen**: Die resultierende Jacobian-Matrix \( \mathbf{J'} \) beschreibt nun die Beziehung zwischen den Gelenkwinkeln und der neuen Position des Endeffektors.

Zusammengefasst: Die Jacobian-Matrix bleibt in ihrer Struktur gleich, aber du musst die Position des Endeffektors um den Verschiebungsvektor anpassen.