Beispiel für die Berechnung der Schiefe in der Psychologie.

In der Psychologie wird die Schiefe (oder Skewness) verwendet, um die Asymmetrie einer Verteilung zu beschreiben. Eine positive Schiefe bedeutet, dass der Großteil der Daten linksbündig ist und die Verteilung einen langen rechten Schwanz hat, während eine negative Schiefe anzeigt, dass die Daten rechtsbündig sind und die Verteilung einen langen linken Schwanz hat.

Hier ist ein einfaches Beispiel zur Berechnung der Schiefe:

Angenommen, du hast die folgenden Datenpunkte: 2, 3, 3, 4, 5, 6, 8.

1. **Berechne den Mittelwert (μ)**:
\[
\text{Mittelwert} = \frac{(2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8)}{7} = \frac{31}{7} \approx 4.43
\]

2. **Berechne die Standardabweichung (σ)**:
\[
\text{Standardabweichung} = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}
\]
\[
= \sqrt{\frac{(2-4.43)^2 + (3-4.43)^2 + (3-4.43)^2 + (4-4.43)^2 + (5-4.43)^2 + (64.43)^2 + (8-4.43)^2}{7}}
\]
\[
\approx \sqrt{\frac{(5.9049 + 2.0449 + 2.0449 + 0.1849 + 0.3249 + 2.4489 + 12.7049)}{7}}
\]
\[
\approx \sqrt{\frac{25.6565}{7}} \approx \sqrt{3.6644} \approx 1.92
\]

3. **Berechne die Schiefe (Skewness)**:
\[
\text{Schiefe} = \frac{N}{(N-1)(N-2)} \cdot \frac{\sum \left(\frac{x_i - \mu}{\sigma}\right)^3}{N}
\]
\[
= \frac{7}{(7-1)(7-2)} \cdot \frac{(2-4.43)^3 + (3-4.43)^3 + (3-4.43)^3 + (4-4.43)^3 + (5-4.43)^3 + (6-4.43)^3 + (8-4.43)^3}{7}
\]
\[
\approx \frac{7}{30} \cdot \frac{(-2.43)^3 + (-1.43)^3 + (-1.43)^3 + (-0.43)^3 + (0.57)^3 + (1.57)^3 + (3.57)^3}{7}
\]
\[
\approx \frac{7}{30} \cdot \frac{-14.39 - 2.94 - 2.94 - 0.08 + 0.18 + 3.87 + 45.57}{7}
\]
\[
\approx \frac{7}{30} \cdot \frac{28.27}{7} \approx \frac{7}{30} \cdot 4.04 \approx 0.94
\]

In diesem Beispiel beträgt die Schiefe etwa 0.94, was auf eine positive Schiefe hinweist. Das bedeutet, dass die Verteilung der Daten nach rechts verschoben ist.