Wie entstehen Zahlfaktoren in Trägheitsmoment-Gleichungen?

Die Zahlfaktoren in den Gleichungen für das Trägheitsmoment (auch als Massenträgheitsmoment oder Moment of Inertia bezeichnet) von Körpern ergeben sich aus der Integration der Massenverteilung über das Volumen des Körpers. Das Trägheitsmoment \( I \) eines Körpers bezüglich einer bestimmten Achse ist definiert als:

\[ I = \int_V r^2 \, dm \]

wobei:
- \( r \) der Abstand eines Massenelements \( dm \) von der Rotationsachse ist,
- \( V \) das Volumen des Körpers ist.

Um die Zahlfaktoren zu verstehen, betrachten wir einige Beispiele:

1. **Trägheitsmoment eines dünnen Stabes der Länge \( L \) um eine Achse durch das Ende:**
\[ I = \int_0^L x^2 \, \lambda \, dx \]
Hier ist \( \lambda \) die lineare Massendichte (\( m/L \)). Die Integration ergibt:
\[ I = \lambda \int_0^L x^2 \, dx = \lambda \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^L = \lambda \frac{L^3}{3} = \frac{mL^2}{3} \]
Der Faktor \( \frac{1}{3} \) kommt aus der Integration von \( x^2 \) über die Länge des Stabes.

2. **Trägheitsmoment eines Vollzylinders der Masse \( m \) und des Radius \( R \) um seine zentrale Achse:**
\[ I = \int_V r^2 \, dm \]
In Zylinderkoordinaten ist \( dm = \rho \, dV = \rho \, r \, dr \, d\theta \, dz \), wobei \( \rho \) die Massendichte ist. Die Integration über das Volumen ergibt:
\[ I = \rho \int_0^H \int_0^{2\pi} \int_0^R r^3 \, dr \, d\theta \, dz = \rho H \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} m R^2 \]
Der Faktor \( \frac{1}{2} \) resultiert aus der Integration von \( r^3 \) über den Radius des Zylinders.

3. **Trägheitsmoment einer Kugel der Masse \( m \) und des Radius \( R \) um eine Achse durch den Mittelpunkt:**
\[ I = \int_V r^2 \, dm \]
In Kugelkoordinaten ist \( dm = \rho \, dV = \rho \, r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \). Die Integration über das Volumen ergibt:
\[ I = \rho \int_0^R \int_0^\pi \int_0^{2\pi} r^4 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \rho \cdot \frac{4\pi}{3} R^3 \cdot \frac{2}{5} R^2 = \frac{2}{5} m R^2 \]
Der Faktor \( \frac{2}{5} \) kommt aus der Integration von \( r^4 \sin\theta \) über das Volumen der Kugel.

Diese Zahlfaktoren sind das Ergebnis der spezifischen Geometrie und Massenverteilung der Körper und der mathematischen Integration über deren Volumen.