Was ist der Energie-Impuls-Tensor und wie berechnet man die Krümmung der Raumzeit anhand eines Beispiels?

Der **Energie-Impuls-Tensor** (auch Energie-Impuls-Stress-Tensor oder Energie-Impuls-Tensor, englisch: energy-momentum tensor) ist ein zentrales mathematisches Objekt in der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) und in der Feldtheorie. Er beschreibt die Verteilung und den Fluss von Energie und Impuls in Raum und Zeit. Der Tensor wird meist mit \( T_{\mu\nu} \) bezeichnet.

**Bedeutung:**
- Die Komponenten von \( T_{\mu\nu} \) geben an, wie viel Energie, Impuls und Druck in einem bestimmten Raumzeitpunkt vorhanden sind.
- Er ist die Quelle der Raumzeitkrümmung in Einsteins Feldgleichungen.

**Einsteinsche Feldgleichungen:**
\[
G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}
\]
- \( G_{\mu\nu} \): Einstein-Tensor, beschreibt die Krümmung der Raumzeit.
- \( T_{\mu\nu} \): Energie-Impuls-Tensor, beschreibt Materie und Energie.
- \( G \): Gravitationskonstante, \( c \): Lichtgeschwindigkeit.

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### Beispiel: Krümmung der Raumzeit durch eine punktförmige Masse (Schwarzschild-Lösung)

**1. Energie-Impuls-Tensor für Vakuum:**
Außerhalb einer punktförmigen Masse (z.B. außerhalb eines Sterns) ist kein Materieinhalt vorhanden, also:
\[
T_{\mu\nu} = 0
\]

**2. Einsteinsche Feldgleichungen im Vakuum:**
\[
G_{\mu\nu} = 0
\]

**3. Lösung: Schwarzschild-Metrik**
Die Lösung dieser Gleichung ergibt die sogenannte Schwarzschild-Metrik:
\[
ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2
\]
- \( M \): Masse des Objekts
- \( r \): Abstand vom Mittelpunkt
- \( d\Omega^2 \): Winkelanteil

**Interpretation:**
- Die Raumzeit ist um die Masse \( M \) gekrümmt.
- Licht und Materie bewegen sich nicht mehr auf geraden Linien, sondern auf Geodäten dieser gekrümmten Raumzeit.

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### Einfaches Rechenbeispiel: Krümmungsradius am Sonnenrand

Setze die Masse der Sonne (\( M_\odot \approx 2 \times 10^{30} \) kg) und den Sonnenradius (\( r_\odot \approx 7 \times 10^8 \) m) in den Schwarzschild-Radius ein:
\[
r_s = \frac{2GM}{c^2}
\]
\[
r_s = \frac{2 \cdot 6{,}674 \times 10^{-11} \cdot 2 \times 10^{30}}{(3 \times 10^8)^2} \approx 2{,}95 \text{ km}
\]

Am Sonnenrand (\( r \gg r_s \)) ist die Krümmung klein, aber messbar (z.B. Lichtablenkung bei einer Sonnenfinsternis).

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**Zusammenfassung:**
Der Energie-Impuls-Tensor beschreibt, wie Materie und Energie die Raumzeit krümmen. Ein einfaches Beispiel ist die Schwarzschild-Lösung, die zeigt, wie eine punktförmige Masse die Raumzeit krümmt und so z.B. Licht ablenkt.

Weitere Infos:
- [Wikipedia: Energie-Impuls-Tensor](https://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Impuls-Tensor)
- [Wikipedia: Schwarzschild-Metrik](https://de.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild-Metrik)