Wie berechnet man für die beschriebenen Felder das elektrische Potential ϕ(r)?

Um das elektrische Potential \(\varphi(r)\) für beide Fälle zu berechnen, muss das elektrische Feld \(E(r)\) integriert werden. Das elektrische Feld \(E(r)\) ist gegeben durch:

1. Für \(r < R\):
\[ E(r) = \frac{\rho q}{3 \varepsilon_0} \cdot r \]

2. Für \(r > R\):
\[ E(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \]

Das elektrische Potential \(\varphi(r)\) ist definiert als das negative Integral des elektrischen Feldes:

\[ \varphi(r) = - \int E(r) \, dr \]

### Fall 1: \(r < R\)

Für \(r < R\):

\[ E(r) = \frac{\rho q}{3 \varepsilon_0} \cdot r \]

Das Potential \(\varphi(r)\) wird durch Integration von \(E(r)\) berechnet:

\[ \varphi(r) = - \int \left( \frac{\rho q}{3 \varepsilon_0} \cdot r \right) dr \]

\[ \varphi(r) = - \frac{\rho q}{3 \varepsilon_0} \int r \, dr \]

\[ \varphi(r) = - \frac{\rho q}{3 \varepsilon_0} \cdot \frac{r^2}{2} + C_1 \]

\[ \varphi(r) = - \frac{\rho q}{6 \varepsilon_0} \cdot r^2 + C_1 \]

### Fall 2: \(r > R\)

Für \(r > R\):

\[ E(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \]

Das Potential \(\varphi(r)\) wird durch Integration von \(E(r)\) berechnet:

\[ \varphi(r) = - \int \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \right) dr \]

\[ \varphi(r) = - \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{1}{r^2} \, dr \]

\[ \varphi(r) = - \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \left( -\frac{1}{r} \right) + C_2 \]

\[ \varphi(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r} + C_2 \]

### Bestimmung der Konstanten \(C_1\) und \(C_2\)

Um die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) zu bestimmen, müssen die Potentiale an der Grenze \(r = R\) kontinuierlich sein. Das bedeutet:

\[ \varphi(R)_{\text{innen}} = \varphi(R)_{\text{außen}} \]

Für \(r = R\):

\[ \varphi(R)_{\text{innen}} = - \frac{\rho q}{6 \varepsilon_0} \cdot R^2 + C_1 \]

\[ \varphi(R)_{\text{außen}} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{R} + C_2 \]

Da die Potentiale gleich sein müssen:

\[ - \frac{\rho q}{6 \varepsilon_0} \cdot R^2 + C_1 = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{R} + C_2 \]

Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) können durch zusätzliche Randbedingungen oder Symmetrieüberlegungen bestimmt werden, die hier nicht spezifiziert sind. In vielen Fällen wird das Potential so gewählt, dass es an einem bestimmten Punkt (z.B. im Unendlichen) null ist.

### Zusammenfassung

Für \(r < R\):

\[ \varphi(r) = - \frac{\rho q}{6 \varepsilon_0} \cdot r^2 + C_1 \]

Für \(r > R\):

\[ \varphi(r) = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r} + C_2 \]

Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\)