Wie zeige ich, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit über eine lange Strecke nicht identisch sein muss?

Um zu zeigen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit über eine lange Strecke nicht identisch sein muss, kann ein einfaches Beispiel verwendet werden, das unterschiedliche Geschwindigkeiten auf verschiedenen Teilstrecken berücksichtigt. Hier ist ein Schritt-für-Schritt-Ansatz:

1. **Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit**:
Die Durchschnittsgeschwindigkeit \( v_{\text{avg}} \) ist definiert als die gesamte zurückgelegte Strecke \( s_{\text{total}} \) geteilt durch die gesamte benötigte Zeit \( t_{\text{total}} \):
\[
v_{\text{avg}} = \frac{s_{\text{total}}}{t_{\text{total}}}
\]

2. **Beispiel mit zwei Teilstrecken**:
Betrachte eine Strecke, die in zwei Teilstrecken \( s_1 \) und \( s_2 \) unterteilt ist, wobei unterschiedliche Geschwindigkeiten \( v_1 \) und \( v_2 \) auf diesen Teilstrecken gefahren werden.

3. **Berechnung der Zeiten für die Teilstrecken**:
Die Zeit, die benötigt wird, um die erste Teilstrecke zu durchfahren, ist:
\[
t_1 = \frac{s_1}{v_1}
\]
Die Zeit, die benötigt wird, um die zweite Teilstrecke zu durchfahren, ist:
\[
t_2 = \frac{s_2}{v_2}
\]

4. **Gesamtstrecke und Gesamtzeit**:
Die gesamte zurückgelegte Strecke ist:
\[
s_{\text{total}} = s_1 + s_2
\]
Die gesamte benötigte Zeit ist:
\[
t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = \frac{s_1}{v_1} + \frac{s_2}{v_2}
\]

5. **Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit**:
Setze die Werte in die Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit ein:
\[
v_{\text{avg}} = \frac{s_{\text{total}}}{t_{\text{total}}} = \frac{s_1 + s_2}{\frac{s_1}{v_1} + \frac{s_2}{v_2}}
\]

6. **Vergleich der Durchschnittsgeschwindigkeit mit den Teilgeschwindigkeiten**:
Die Durchschnittsgeschwindigkeit \( v_{\text{avg}} \) ist im Allgemeinen nicht gleich \( v_1 \) oder \( v_2 \), sondern hängt von den Längen der Teilstrecken und den jeweiligen Geschwindigkeiten ab.

**Beispielrechnung**:
Angenommen, \( s_1 = 100 \) km, \( s_2 = 100 \) km, \( v_1 = 50 \) km/h und \( v_2 = 100 \) km/h.

- Zeit für die erste Teilstrecke:
\[
t_1 = \frac{100 \text{ km}}{50 \text{ km/h}} = 2 \text{ Stunden}
\]
- Zeit für die zweite Teilstrecke:
\[
t_2 = \frac{100 \text{ km}}{100 \text{ km/h}} = 1 \text{ Stunde}
\]
- Gesamtstrecke:
\[
s_{\text{total}} = 100 \text{ km} + 100 \text{ km} = 200 \text{ km}
\]
- Gesamtzeit:
\[
t_{\text{total}} = 2 \text{ Stunden} + 1 \text{ Stunde} = 3 \text{ Stunden}
\]
- Durchschnittsgeschwindigkeit:
\[
v_{\text{avg}} = \frac{200 \text{ km}}{3 \text{ Stunden}} \approx 66{,}67 \text{ km/h}
\]

In diesem Beispiel ist die Durchschnittsgeschwindigkeit \( 66{,}67 \) km/h, was weder \( 50 \) km/h noch \( 100 \) km/h entspricht. Dies zeigt, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit über eine lange Strecke nicht identisch mit den Geschwindigkeiten auf den Teilstrecken sein muss.