Warum spannt ein Quantenrechner mit 3 Qubits einen Raum mit 8 linear unabhängigen Basisvektoren auf?

**Nicht \(2^8\), sondern \(2^3 = 8\): Ein Quantenrechner mit 3 Qubits lebt in einem 8-dimensionalen Hilbertraum, weil sich die Dimensionen der einzelnen Qubits multiplizieren.** Ein einzelnes Qubit hat zwei Basiszustände, meist \(|0\rangle\) und \(|1\rangle\). Sein Zustandsraum ist also 2-dimensional. Bei 3 Qubits addierst du diese Dimensionen nicht, sondern bildest das Tensorprodukt: \[ \mathcal H = \mathbb C^2 \otimes \mathbb C^2 \otimes \mathbb C^2 \] Dabei gilt: \[ 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8 \] ## Die 8 Basisvektoren Die Standardbasis besteht aus allen Bit-Kombinationen der 3 Qubits: \[ |000\rangle,\ |001\rangle,\ |010\rangle,\ |011\rangle,\ |100\rangle,\ |101\rangle,\ |110\rangle,\ |111\rangle \] Das sind genau 8 linear unabhängige Basisvektoren. ## Warum nicht mehr Der häufige Denkfehler ist: „Es gibt Superpositionen, also muss der Raum viel größer sein.“ Das stimmt nicht. Superpositionen erzeugen keine neue Dimension, sondern sind nur Linearkombinationen der vorhandenen Basisvektoren. Beispiel: \[ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt 2}|000\rangle + \frac{1}{\sqrt 2}|111\rangle \] Das ist ein neuer Zustand, aber kein neuer Basisvektor und keine zusätzliche Dimension. ## Der entscheidende Unterschied - **3 klassische Bits** können genau **einen** von 8 Zuständen gleichzeitig haben. - **3 Qubits** können eine Superposition aus **allen 8 Basiszuständen gleichzeitig** bilden. Genau deshalb ist der Raum **8-dimensional**: nicht weil 8 Zustände „nacheinander“ möglich sind, sondern weil jede allgemeine Wellenfunktion 8 komplexe Amplituden hat: \[ |\psi\rangle = \sum_{x \in \{0,1\}^3} \alpha_x |x\rangle \] Die 8 Basiszustände sind also die „Koordinatenachsen“ dieses Raums. ## Praktisch wichtig Für \(n\) Qubits gilt immer: \[ \dim(\mathcal H) = 2^n \] Das ist der Grund, warum Quantenrechner so schnell schwer simulierbar werden: Schon 50 Qubits brauchen einen Zustandsraum mit \[ 2^{50} \] Basiszuständen. Das ist der eigentliche exponentielle Effekt — nicht, dass der Rechner automatisch alle Lösungen „auf einmal ausrechnet“, sondern dass sein Zustandsraum exponentiell wächst.