Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist ein fundamentales Theorem in der Stochastik (Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik). Er besagt, dass die Summe (bzw. der Mittelwert) einer großen Anzahl...
Was ist der zentrale Grenzwertsatz?
Antwort vomDer zentrale Grenzwertsatz (ZGS) ist ein fundamentales Theorem der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er besagt, dass die Summe (oder der Durchschnitt) einer großen Anzahl von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen, unabhängig von der ursprünglichen Verteilung der Variablen, näherungsweise normalverteilt ist. Dies bedeutet, dass die Verteilung der Summe (oder des Durchschnitts) dieser Zufallsvariablen mit zunehmender Anzahl der Variablen immer mehr der Normalverteilung ähnelt. Formal ausgedrückt: Wenn \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert \(\mu\) und der Varianz \(\sigma^2\) sind, dann nähert sich die Verteilung der standardisierten Summe \[ \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \] für große \(n\) einer Standardnormalverteilung (Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1). Der zentrale Grenzwertsatz ist von großer Bedeutung, weil er die Grundlage für viele statistische Methoden und Verfahren bildet, insbesondere für die Anwendung der Normalverteilung in der Praxis.
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