Die Intervallschachtelung ist ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Wurzeln einer Funktion. Dabei wird ein Intervall [a, b] gewählt, in dem die Funktion f(x) ein Vorzeichenwechsel aufweist, was bedeutet, dass f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben. Dies deutet darauf hin, dass es mindestens eine Wurzel in diesem Intervall gibt. ### Schritte der Intervallschachtelung: 1. **Wähle ein Intervall [a, b]:** Bestimme zwei Punkte a und b, sodass f(a) * f(b) < 0. 2. **Berechne den Mittelwert:** Bestimme den Mittelwert c = (a + b) / 2. 3. **Überprüfe das Vorzeichen:** Berechne f(c): - Wenn f(c) = 0, ist c die Wurzel. - Wenn f(c) * f(a) < 0, setze b = c (die Wurzel liegt im Intervall [a, c]). - Wenn f(c) * f(b) < 0, setze a = c (die Wurzel liegt im Intervall [c, b]). 4. **Wiederhole den Prozess:** Führe die Schritte 2 und 3 so lange durch, bis das Intervall [a, b] klein genug ist, um eine ausreichende Genauigkeit zu erreichen. ### Beispiel: Betrachten wir die Funktion f(x) = x² - 2. Wir möchten die Wurzel (die Quadratwurzel von 2) finden. 1. **Wähle ein Intervall:** Setze a = 1 und b = 2. Dann ist f(1) = -1 und f(2) = 2. Da f(1) * f(2) < 0, liegt eine Wurzel zwischen 1 und 2. 2. **Berechne den Mittelwert:** c = (1 + 2) / 2 = 1.5. Dann ist f(1.5) = 1.25. 3. **Überprüfe das Vorzeichen:** Da f(1.5) > 0, liegt die Wurzel im Intervall [1, 1.5]. Setze b = 1.5. 4. **Wiederhole den Prozess:** - Neues c = (1 + 1.5) / 2 = 1.25, f(1.25) = 0.0625 (positiv). - Setze b = 1.25. - Neues c = (1 + 1.25) / 2 = 1.125, f(1.125) = -0.265625 (negativ). - Setze a = 1.125. Fahre so fort, bis das Intervall klein genug ist. Nach mehreren Iterationen erhältst du eine Näherung für die Wurzel von 2.