Wie viele Quadrate mit 1cm Seitenlänge passen in ein Rechteck mit 76cm Umfang?

Question

Wie viele Quadrate mit 1cm Seitenlänge passen in ein Rechteck mit 76cm Umfang?

Antwort

Verwandte Fragen

Welche Länge hat ein Rechteck bei zentrischer Streckung mit k=3,5, Flächeninhalt 400 dm² und Umfang 82 dm?

Rechteck berechnen

Accepted Answer

Um die Anzahl der Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm zu bestimmen, die in ein Rechteck mit einem Umfang von 76 cm passen, müssen wir die Dimensionen des Rechtecks herausfinden. Der Umfang \( U \) eines Rechtecks wird durch die Formel \( U = 2 \cdot (L + B) \) beschrieben, wobei \( L \) die Länge und \( B \) die Breite des Rechtecks sind. Setzen wir den Umfang in die Formel ein: \[ 76 = 2 \cdot (L + B) \] Teilen wir beide Seiten durch 2: \[ 38 = L + B \] Das bedeutet, dass die Summe der Länge und der Breite 38 cm beträgt. Es gibt unendlich viele Kombinationen von \( L \) und \( B \), die diese Gleichung erfüllen. Um die Anzahl der 1 cm² großen Quadrate zu berechnen, benötigen wir die Fläche des Rechtecks. Die Fläche \( A \) wird durch die Formel \( A = L \cdot B \) gegeben. Da \( L + B = 38 \), können wir \( B \) als \( B = 38 - L \) ausdrücken und die Fläche als Funktion von \( L \) schreiben: \[ A = L \cdot (38 - L) = 38L - L^2 \] Um die maximale Fläche zu finden, setzen wir die Ableitung gleich null: \[ \frac{dA}{dL} = 38 - 2L = 0 \implies L = 19 \] Setzen wir \( L = 19 \) in die Gleichung für \( B \) ein: \[ B = 38 - 19 = 19 \] Das bedeutet, dass das Rechteck eine maximale Fläche von \( 19 \cdot 19 = 361 \) cm² hat. Da jedes Quadrat eine Fläche von 1 cm² hat, passen in ein Rechteck mit maximaler Fläche von 361 cm² genau 361 Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm.

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue F... [mehr]

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue Flächeninhalt \( A' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ A' = k^2 \cdot A \] Hier ist \( A = 400 \, \text{dm}^2 \) und \( k = 3,5 \): \[ A' = (3,5)^2 \cdot 400 = 12,25 \cdot 400 = 4900 \, \text{dm}^2 \] 2. **Umfang nach der Streckung**: Der neue Umfang \( U' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ U' = k \cdot U \] Hier ist \( U = 82 \, \text{dm} \): \[ U' = 3,5 \cdot 82 = 287 \, \text{dm} \] 3. **Längen der Seiten des Rechtecks**: Um die Längen der Seiten des ursprünglichen Rechtecks zu finden, nutzen wir die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt. Sei \( l \) die Länge und \( b \) die Breite des Rechtecks: \[ U = 2(l + b) = 82 \implies l + b = 41 \] \[ A = l \cdot b = 400 \] Nun können wir \( b \) aus der ersten Gleichung ausdrücken: \[ b = 41 - l \] Setze dies in die Flächeninhalt-Gleichung ein: \[ l \cdot (41 - l) = 400 \] Dies ergibt die Gleichung: \[ 41l - l^2 = 400 \implies l^2 - 41l + 400 = 0 \] Um die Lösungen für \( l \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} \] Dies ergibt die Lösungen: \[ l_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{und} \quad l_2 = \frac{32}{2} = 16 \] Somit sind die Seitenlängen des Rechtecks \( l = 25 \, \text{dm} \) und \( b = 16 \, \text{dm} \) (oder umgekehrt). Zusammenfassend: - Flächeninhalt nach der Streckung: \( 4900 \, \text{dm}^2 \) - Umfang nach der Streckung: \( 287 \, \text{dm} \) - Ursprüngliche Seitenlängen: \( 25 \, \text{dm} \) und \( 16 \, \text{dm} \)

Accepted Answer

Um die Fläche eines Rechtecks zu berechnen, multiplizierst du die Länge (l) mit der Breite (b). Die Formel lautet: \[ \text{Fläche} = l \times b \] Wenn du den Umfang berechnen mö... [mehr]

Accepted Answer

Um die Fläche eines Rechtecks zu berechnen, multiplizierst du die Länge (l) mit der Breite (b). Die Formel lautet: \[ \text{Fläche} = l \times b \] Wenn du den Umfang berechnen möchtest, verwendest du die Formel: \[ \text{Umfang} = 2 \times (l + b) \] Stelle sicher, dass du die Maße in derselben Einheit angibst, um korrekte Ergebnisse zu erhalten.