Was ist Sigma Additivität?

Sigma-Additivität, auch σ-Additivität genannt, ist ein Konzept aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es beschreibt eine Eigenschaft eines Maßes, die besagt, dass das Maß einer abzählbaren Vereinigung disjunkter Mengen gleich der Summe der Maße dieser Mengen ist.

Formal ausgedrückt: Ein Maß \(\mu\) auf einer σ-Algebra \(\mathcal{F}\) ist σ-additiv, wenn für jede abzählbare Folge \((A_i)_{i \in \mathbb{N}}\) von paarweise disjunkten Mengen \(A_i \in \mathcal{F}\) gilt:

\[
\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i)
\]

Das bedeutet, dass das Maß der Vereinigung der Mengen gleich der Summe der Maße der einzelnen Mengen ist, vorausgesetzt, die Mengen sind paarweise disjunkt (d.h., sie haben keine gemeinsamen Elemente).

Diese Eigenschaft ist fundamental in der Maßtheorie und bildet die Grundlage für die Definition des Lebesgue-Maßes und anderer wichtiger Maße in der Mathematik.