Wenn in einer Aufgabe verlangt wird, den größten Funktionswert von \( f \) auf dem Intervall \( D_f = [-4; 5] \) anzugeben und du einen Graphen der Funktion vorliegen hast, gehst du folgend... [mehr]
Was ist die Intervallmethode?
AntwortDie Intervallmethode ist ein Verfahren zur numerischen Lösung von Gleichungen, insbesondere zur Bestimmung von Nullstellen von Funktionen. Sie basiert auf der Idee, dass eine Funktion, die in einem Intervall \( [a, b] \) unterschiedliche Vorzeichen hat (d.h. \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)), mindestens eine Nullstelle in diesem Intervall besitzt. Der grundlegende Ablauf der Intervallmethode umfasst folgende Schritte: 1. **Wahl eines Intervalls**: Bestimme ein Intervall \( [a, b] \), in dem die Funktion \( f(x) \) unterschiedliche Vorzeichen hat. 2. **Berechnung des Mittelpunkts**: Berechne den Mittelpunkt \( c = \frac{a + b}{2} \). 3. **Funktionswert am Mittelpunkt**: Bestimme den Funktionswert \( f(c) \). 4. **Intervallanpassung**: - Wenn \( f(c) = 0 \), dann ist \( c \) die Nullstelle. - Wenn \( f(a) \cdot f(c) < 0 \), setze \( b = c \) (die Nullstelle liegt im linken Intervall). - Wenn \( f(c) \cdot f(b) < 0 \), setze \( a = c \) (die Nullstelle liegt im rechten Intervall). 5. **Wiederholung**: Wiederhole die Schritte 2 bis 4, bis das Intervall klein genug ist oder eine ausreichende Genauigkeit erreicht ist. Die Intervallmethode ist einfach zu implementieren und garantiert, dass eine Nullstelle gefunden wird, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind. Sie ist jedoch nicht die schnellste Methode und kann in der Praxis durch andere Verfahren wie das Newton-Verfahren oder die Sekantenmethode ergänzt werden.
