Zeigen Sie, dass das Viereck EFGH ein Quadrat ist und bestimmen Sie seine Seitenlänge.

Um zu zeigen, dass das Viereck EFGH ein Quadrat ist, müssen wir die Längen der Seiten und die Winkel zwischen den Seiten überprüfen. Die Punkte sind: - E(14, 2- F(23, 14) - G(11, 23) - H(2, 11) Zuerst berechnen wir die Längen der Seiten EF, FG, GH und HE. 1. **Länge EF**: \[ EF = \sqrt{(23 - 14)^2 + (14 - 2)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \] 2. **Länge FG**: \[ FG = \sqrt{(11 - 23)^2 + (23 - 14)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \] 3. **Länge GH**: \[ GH = \sqrt{(2 - 11)^2 + (11 - 23)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \] 4. **Länge HE**: \[ HE = \sqrt{(14 - 2)^2 + (2 - 11)^2} = \sqrt{12^2 + (-9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \] Da alle vier Seiten gleich lang sind (15 Einheiten), ist das Viereck EFGH ein Rhombus. Um zu zeigen, dass es sich um ein Quadrat handelt, müssen wir auch die Winkel überprüfen. Ein Quadrat hat vier rechte Winkel. Wir können dies tun, indem wir die Steigungen der Seiten betrachten. - **Steigung EF**: \[ m_{EF} = \frac{14 - 2}{23 - 14} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \] - **Steigung FG**: \[ m_{FG} = \frac{23 - 14}{11 - 23} = \frac{9}{-12} = -\frac{3}{4} \] - **Steigung GH**: \[ m_{GH} = \frac{11 - 23}{2 - 11} = \frac{-12}{-9} = \frac{4}{3} \] - **Steigung HE**: \[ m_{HE} = \frac{2 - 11}{14 - 2} = \frac{-9}{12} = -\frac{3}{4} \] Die Steigungen von EF und FG sind negativ zueinander und multiplizieren sich zu -1, was bedeutet, dass der Winkel zwischen diesen beiden Seiten 90 Grad beträgt. Das gleiche gilt für die anderen Seiten (GH und HE). Da alle Seiten gleich lang sind und die Winkel zwischen den benachbarten Seiten 90 Grad betragen, ist das Viereck EFGH ein Quadrat. **Seitenlänge**: Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 15 Einheiten.