Sind die Vektoren (1,1,0), (1,1,1) und (0,1,-1) linear unabhängig?

Um zu überprüfen, ob die Vektoren \((1,1,0)\), \((1,1,1)\) und \((0,1,-1)\) linear unabhängig sind, kann man die Determinante der Matrix berechnen, die diese Vektoren als Spalten hat. Wenn die Determinante ungleich null ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Die Matrix, die diese Vektoren als Spalten hat, ist: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] Die Determinante dieser Matrix berechnet sich wie folgt: \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \left( \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \right) - 1 \cdot \left( \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \right) + 0 \cdot \left( \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right) \] Nun berechnen wir die 2x2 Determinanten: \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = (1 \cdot -1) - (1 \cdot 1) = -1 - 1 = -2 \] \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = (1 \cdot -1) - (1 \cdot 0) = -1 - 0 = -1 \] Setzen wir diese Werte in die ursprüngliche Determinantenberechnung ein: \[ \text{det} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (0) = -2 + 1 = -1 \] Da die Determinante \(-1\) und somit ungleich null ist, sind die Vektoren \((1,1,0)\), \((1,1,1)\) und \((0,1,-1)\) linear unabhängig.