Begründe, dass es unendlich viele Ebenen gibt, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Die Aussage, dass es unendlich viele Ebenen gibt, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen, lässt sich wie folgt begründen: 1. **Definition einer Ebene im dreidimensionalen Raum**: Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch eine lineare Gleichung der Form \( ax + by + cz = d \) beschrieben werden, wobei \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) Konstanten sind und nicht alle von \(a\), \(b\) und \(c\) null sein dürfen. 2. **Punkte mit übereinstimmenden Koordinaten**: Ein Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen, hat die Form \((t, t, t)\), wobei \(t\) eine reelle Zahl ist. 3. **Einsetzen in die Ebenengleichung**: Setzt man einen Punkt \((t, t, t)\) in die Ebenengleichung \( ax + by + cz = d \) ein, erhält man: \[ a(t) + b(t) + c(t) = d \quad \Rightarrow \quad t(a + b + c) = d \] Für einen Punkt \((t, t, t)\) auf der Ebene muss also \( t = \frac{d}{a + b + c} \) gelten. 4. **Bedingung für das Fehlen solcher Punkte**: Damit die Ebene keinen Punkt \((t, t, t)\) enthält, muss die Gleichung \( t(a + b + c) = d \) keine Lösung für \(t\) haben. Dies ist der Fall, wenn \(a + b + c = 0\) und \(d \neq 0\). 5. **Unendlich viele Ebenen**: Die Bedingung \(a + b + c = 0\) beschreibt eine unendliche Menge von Ebenen, da \(a\), \(b\) und \(c\) beliebige Werte annehmen können, solange ihre Summe null ist. Für jede Wahl von \(a\) und \(b\) kann \(c\) entsprechend gewählt werden, um die Bedingung zu erfüllen. Da es unendlich viele mögliche Werte für \(a\) und \(b\) gibt, gibt es auch unendlich viele Kombinationen, die die Bedingung \(a + b + c = 0\) erfüllen. 6. **Zusammenfassung**: Da es unendlich viele Kombinationen von \(a\), \(b\) und \(c\) gibt, die die Bedingung \(a + b + c = 0\) erfüllen, und für jede dieser Kombinationen eine entsprechende Ebene existiert, gibt es unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Daher ist die Aussage richtig.