Begründe, dass es unendlich viele Ebenen gibt, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

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Begründe, dass es unendlich viele Ebenen gibt, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.

Antwort

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Wie bestimme ich die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden mit Richtungsvektor und Normalenvektor?

Wie kann man die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden bestimmen?

Was ist die Einteilung eines Koordinatensystems?

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Die Aussage, dass es unendlich viele Ebenen gibt, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen, lässt sich wie folgt begründen: 1. **Definition einer Ebene im dreidimensionalen Raum**: Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch eine lineare Gleichung der Form \( ax + by + cz = d \) beschrieben werden, wobei \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) Konstanten sind und nicht alle von \(a\), \(b\) und \(c\) null sein dürfen. 2. **Punkte mit übereinstimmenden Koordinaten**: Ein Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen, hat die Form \((t, t, t)\), wobei \(t\) eine reelle Zahl ist. 3. **Einsetzen in die Ebenengleichung**: Setzt man einen Punkt \((t, t, t)\) in die Ebenengleichung \( ax + by + cz = d \) ein, erhält man: \[ a(t) + b(t) + c(t) = d \quad \Rightarrow \quad t(a + b + c) = d \] Für einen Punkt \((t, t, t)\) auf der Ebene muss also \( t = \frac{d}{a + b + c} \) gelten. 4. **Bedingung für das Fehlen solcher Punkte**: Damit die Ebene keinen Punkt \((t, t, t)\) enthält, muss die Gleichung \( t(a + b + c) = d \) keine Lösung für \(t\) haben. Dies ist der Fall, wenn \(a + b + c = 0\) und \(d \neq 0\). 5. **Unendlich viele Ebenen**: Die Bedingung \(a + b + c = 0\) beschreibt eine unendliche Menge von Ebenen, da \(a\), \(b\) und \(c\) beliebige Werte annehmen können, solange ihre Summe null ist. Für jede Wahl von \(a\) und \(b\) kann \(c\) entsprechend gewählt werden, um die Bedingung zu erfüllen. Da es unendlich viele mögliche Werte für \(a\) und \(b\) gibt, gibt es auch unendlich viele Kombinationen, die die Bedingung \(a + b + c = 0\) erfüllen. 6. **Zusammenfassung**: Da es unendlich viele Kombinationen von \(a\), \(b\) und \(c\) gibt, die die Bedingung \(a + b + c = 0\) erfüllen, und für jede dieser Kombinationen eine entsprechende Ebene existiert, gibt es unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Daher ist die Aussage richtig.

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Eine Division durch null, also 1 : 0, ist mathematisch nicht definiert. Das bedeutet, es gibt kein Ergebnis für diese Rechnung, da das Teilen durch null in der Mathematik nicht erlaubt ist.

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Eine Division durch null, also 1 : 0, ist mathematisch nicht definiert. Das bedeutet, es gibt kein Ergebnis für diese Rechnung, da das Teilen durch null in der Mathematik nicht erlaubt ist.

Kategorie: Mathematik Tags: Division Null Unendlich

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, nutzt du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Hier die wichtigsten Schritte: **1. Geradengleichung u... [mehr]

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, nutzt du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Hier die wichtigsten Schritte: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung:** - Gerade: \(\vec{g}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) (\(\vec{p}\): Stützvektor, \(\vec{r}\): Richtungsvektor) - Ebene: \(\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{q}) = 0\) (\(\vec{n}\): Normalenvektor, \(\vec{q}\): Stützvektor der Ebene) **2. Lagebeziehungen:** **a) Gerade parallel zur Ebene:** Die Gerade ist parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{r}\) senkrecht zum Normalenvektor der Ebene \(\vec{n}\) steht, also: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 \] - Falls die Gerade nicht in der Ebene liegt, ist sie echt parallel. - Liegt sie in der Ebene, ist sie eine Teilmenge der Ebene. **b) Gerade schneidet die Ebene:** Die Gerade schneidet die Ebene, wenn: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0 \] In diesem Fall gibt es genau einen Schnittpunkt. Diesen erhältst du, indem du die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt und nach \(t\) auflöst. **c) Gerade liegt in der Ebene:** Die Gerade liegt in der Ebene, wenn sie parallel zur Ebene ist (\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\)) **und** ein Punkt der Geraden (z.B. \(\vec{p}\)) die Ebenengleichung erfüllt: \[ \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0 \] **Zusammenfassung:** - \(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\): Schnittpunkt vorhanden. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) \neq 0\): Gerade ist parallel, aber nicht in der Ebene. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0\): Gerade liegt in der Ebene. **Weitere Infos:** - [Gerade und Ebene im Raum – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/gerade-und-ebene-im-raum) - [Lagebeziehungen – Serlo.org](https://de.serlo.org/mathe/1887/lagebeziehungen-gerade-ebene) So kannst du mit Richtungs- und Normalenvektor die Lage bestimmen.

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung aufstellen:** - Gerade in Parameterform: ... [mehr]

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung aufstellen:** - Gerade in Parameterform:

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Ein Koordinatensystem ist ein System zur eindeutigen Bestimmung von Punkten im Raum durch Zahlenpaare oder -tripel. Die häufigste Einteilung erfolgt in zwei Dimensionen (2D) und drei Dimensionen... [mehr]

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Ein Koordinatensystem ist ein System zur eindeutigen Bestimmung von Punkten im Raum durch Zahlenpaare oder -tripel. Die häufigste Einteilung erfolgt in zwei Dimensionen (2D) und drei Dimensionen (3D). 1. **Zweidimensionales Koordinatensystem (2D)**: - **Achsen**: Es gibt zwei Achsen, die x-Achse (horizontal) und die y-Achse (vertikal). - **Koordinaten**: Ein Punkt wird durch ein Paar von Zahlen (x, y) dargestellt, wobei x den Abstand zur y-Achse und y den Abstand zur x-Achse angibt. - **Quadranten**: Das 2D-Koordinatensystem ist in vier Quadranten unterteilt: - Quadrant I: x > 0, y > 0 - Quadrant II: x < 0, y > 0 - Quadrant III: x < 0, y < 0 - Quadrant IV: x > 0, y < 0 2. **Dreidimensionales Koordinatensystem (3D)**: - **Achsen**: Es gibt drei Achsen: x-Achse, y-Achse und z-Achse. - **Koordinaten**: Ein Punkt wird durch ein Tripel von Zahlen (x, y, z) dargestellt, wobei z den Abstand zur xy-Ebene angibt. - **Raum**: Das 3D-Koordinatensystem ermöglicht die Darstellung von Punkten im Raum und ist nicht in Quadranten unterteilt, sondern in acht Oktanten. Diese Einteilungen helfen dabei, geometrische Formen, Funktionen und Daten im Raum zu analysieren und darzustellen.