Ein Koordinatensystem ist ein System zur eindeutigen Bestimmung von Punkten im Raum durch Zahlenpaare oder -tripel. Die häufigste Einteilung erfolgt in zwei Dimensionen (2D) und drei Dimensionen... [mehr]
Begründen, warum es unendlich viele Ebenen gibt, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
AntwortUm zu begründen, dass es unendlich viele Ebenen gibt, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen, kann man wie folgt vorgehen: 1. **Definition der Ebenen**: Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann allgemein durch eine Gleichung der Form \( ax + by + cz = d \) beschrieben werden, wobei \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) reelle Zahlen sind und \(a\), \(b\), \(c\) nicht alle gleichzeitig null sein dürfen. 2. **Bedingung für übereinstimmende Koordinaten**: Ein Punkt \( (x, y, z) \) hat übereinstimmende Koordinaten, wenn \( x = y = z \). Setzt man dies in die Ebenengleichung ein, erhält man \( a(x) + b(x) + c(x) = d \) oder vereinfacht \( (a + b + c)x = d \). 3. **Vermeidung übereinstimmender Koordinaten**: Damit die Ebene keinen Punkt enthält, dessen Koordinaten übereinstimmen, muss die Gleichung \( (a + b + c)x = d \) keine Lösung für \( x \) haben. Dies ist der Fall, wenn \( a + b + c = 0 \) und \( d \neq 0 \). 4. **Unendlichkeit der Ebenen**: Die Bedingung \( a + b + c = 0 \) lässt unendlich viele Kombinationen von \( a \), \( b \) und \( c \) zu. Beispielsweise kann man \( a \) und \( b \) beliebig wählen und dann \( c = -a - b \) setzen. Für jedes dieser Tripel kann man \( d \) als eine beliebige nicht-null reelle Zahl wählen, um eine Ebene zu definieren. 5. **Beispielhafte Konstruktion**: Wähle \( a = 1 \), \( b = -1 \), und \( c = 0 \). Dann ist \( a + b + c = 1 - 1 + 0 = 0 \). Setze \( d = 1 \). Die entsprechende Ebene ist \( x - y = 1 \). Diese Ebene enthält keinen Punkt, bei dem \( x = y = z \), da \( x - y = 1 \) keine Lösung für \( x = y \) hat. Da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, \( a \), \( b \) und \( c \) so zu wählen, dass \( a + b + c = 0 \), und \( d \) beliebig (aber nicht null) zu setzen, gibt es unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
