Berechne den Tangenteneinheitsvektor und Normaleneinheitsvektor für die Bewegung r(t) = (r sin(ωt), r cos(ωt)).

Um den Tangenteneinheitsvektor und den Normaleneinheitsvektor für die gegebene Bewegung \(\vec{r}(t) = (r \sin(\omega t), r \cos(\omega t))\) zu berechnen, folgen wir diesen Schritten: 1. **Berechnung des Geschwindigkeitsvektors** \(\vec{v}(t)\): \[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \left( \frac{d}{dt}(r \sin(\omega t)), \frac{d}{dt}(r \cos(\omega t)) \right) = (r \omega \cos(\omega t), -r \omega \sin(\omega t)) \] 2. **Berechnung des Tangenteneinheitsvektors** \(\hat{T}(t)\): Der Tangenteneinheitsvektor ist der normierte Geschwindigkeitsvektor: \[ \hat{T}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{|\vec{v}(t)|} \] Zuerst berechnen wir die Norm von \(\vec{v}(t)\): \[ |\vec{v}(t)| = \sqrt{(r \omega \cos(\omega t))^2 + (-r \omega \sin(\omega t))^2} = r \omega \] Daher ist der Tangenteneinheitsvektor: \[ \hat{T}(t) = \left( \cos(\omega t), -\sin(\omega t) \right) \] 3. **Berechnung des Normalenvektors**: Der Normaleneinheitsvektor \(\hat{N}(t)\) ist der Einheitsvektor, der in die Richtung der Beschleunigung zeigt. Zuerst berechnen wir den Beschleunigungsvektor \(\vec{a}(t)\): \[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \left( -r \omega^2 \sin(\omega t), -r \omega^2 \cos(\omega t) \right) \] Der Normaleneinheitsvektor ist dann: \[ \hat{N}(t) = \frac{\vec{a}(t)}{|\vec{a}(t)|} \] Zuerst berechnen wir die Norm von \(\vec{a}(t)\): \[ |\vec{a}(t)| = \sqrt{(-r \omega^2 \sin(\omega t))^2 + (-r \omega^2 \cos(\omega t))^2} = r \omega^2 \] Daher ist der Normaleneinheitsvektor: \[ \hat{N}(t) = \left( -\sin(\omega t), -\cos(\omega t) \right) \] Zusammenfassend sind die Einheitsvektoren: - Tangenteneinheitsvektor: \(\hat{T}(t) = \left( \cos(\omega t), -\sin(\omega t) \right)\) - Normaleneinheitsvektor: \(\hat{N}(t) = \left( -\sin(\omega t), -\cos(\omega t) \right)\)