Sinus Quadrat Alpha ist gleich ein halb?

Question

Sinus Quadrat Alpha ist gleich ein halb?

Antwort

Verwandte Fragen

Warum ist die Wurzel aus a² gleich dem Betrag von a?

Accepted Answer

Wenn \(\sin^2(\alpha) = \frac{1}{2}\), dann bedeutet das, dass der Sinus des Winkels \(\alpha\) entweder \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) oder \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) ist, da \(\sin^2(\alpha)\) immer positiv ist. Die Winkel \(\alpha\), die diese Bedingung erfüllen, sind: - \(\alpha = 45^\circ\) oder \(\alpha = \frac{\pi}{4}\) (im Bogenmaß) - \(\alpha = 135^\circ\) oder \(\alpha = \frac{3\pi}{4}\) (im Bogenmaß) - \(\alpha = 225^\circ\) oder \(\alpha = \frac{5\pi}{4}\) (im Bogenmaß) - \(\alpha = 315^\circ\) oder \(\alpha = \frac{7\pi}{4}\) (im Bogenmaß) Diese Winkel entsprechen den Positionen im Einheitskreis, bei denen der Sinuswert \(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) ist.

Accepted Answer

Die Wurzel aus \( a^2 \) ist der Betrag von \( a \), weil die Quadratwurzel per Definition immer den nicht-negativen Wert liefert. Hier die Erklärung im Detail: - Das Quadrat einer Zahl \( a \)... [mehr]

Accepted Answer

Die Wurzel aus \( a^2 \) ist der Betrag von \( a \), weil die Quadratwurzel per Definition immer den nicht-negativen Wert liefert. Hier die Erklärung im Detail: - Das Quadrat einer Zahl \( a \), also \( a^2 \), ist immer **nicht-negativ** (egal, ob \( a \) positiv oder negativ ist). - Die Quadratwurzel \( \sqrt{x} \) ist per Definition die **nicht-negative** Zahl, deren Quadrat \( x \) ergibt. - Wenn du also \( \sqrt{a^2} \) berechnest, suchst du die nicht-negative Zahl, deren Quadrat \( a^2 \) ist. Das ist genau der **Betrag von \( a \)**, also \( |a| \). **Beispiel:** - Für \( a = 3 \): \( \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3 = |3| \) - Für \( a = -3 \): \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3| \) **Zusammengefasst:** \[ \sqrt{a^2} = |a| \] weil die Wurzel immer den nicht-negativen Wert liefert, unabhängig davon, ob \( a \) selbst positiv oder negativ ist.