Wie zeige ich mithilfe von Pythagoras, dass sin²(α) + cos²(α) = 1 für rechtwinklige Dreiecke gilt?

Um zu zeigen, dass für rechtwinklige Dreiecke gilt: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\), kann der Satz des Pythagoras verwendet werden. Hier ist der Rechenweg und die Erklärung:

1. **Satz des Pythagoras**:
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(c\) gilt:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

2. **Definition von Sinus und Kosinus**:
Für einen Winkel \(\alpha\) in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
\[
\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}
\]
\[
\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}
\]

3. **Quadrat der Sinus- und Kosinuswerte**:
\[
\sin^2(\alpha) = \left(\frac{a}{c}\right)^2 = \frac{a^2}{c^2}
\]
\[
\cos^2(\alpha) = \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{b^2}{c^2}
\]

4. **Summe der Quadrate**:
\[
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}
\]

5. **Gemeinsamer Nenner**:
\[
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = \frac{a^2 + b^2}{c^2}
\]

6. **Anwendung des Satzes des Pythagoras**:
Da \(a^2 + b^2 = c^2\), kann dies in die Gleichung eingesetzt werden:
\[
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = \frac{c^2}{c^2}
\]

7. **Vereinfachung**:
\[
\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1
\]

Damit ist gezeigt, dass \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\) für rechtwinklige Dreiecke gilt.