Begründe mithilfe der Kongruenzsätze, warum in einem Rechteck die Lotstrecken von zwei Gegenecken auf die Diagonale gleich lang sind.

Question

Begründe mithilfe der Kongruenzsätze, warum in einem Rechteck die Lotstrecken von zwei Gegenecken auf die Diagonale gleich lang sind.

Antwort

Verwandte Fragen

Welche Länge hat ein Rechteck bei zentrischer Streckung mit k=3,5, Flächeninhalt 400 dm² und Umfang 82 dm?

Rechteck berechnen

Accepted Answer

Um zu begründen, dass in einem Rechteck die Lotstrecken von zwei gegenüberliegenden Ecken auf die Diagonale gleich lang sind, können die Kongruenzsätze verwendet werden. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Erklärung1. **Rechteck und Diagonale**: Betrachte ein Rechteck \(ABCD\) mit den Ecken \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\). Die Diagonale \(AC\) wird betrachtet. 2. **Lotstrecken**: Ziehe die Lotstrecken von den Ecken \(B\) und \(D\) auf die Diagonale \(AC\). Bezeichne die Fußpunkte der Lotstrecken als \(P\) (von \(B\) auf \(AC\)) und \(Q\) (von \(D\) auf \(AC\)). 3. **Dreiecke betrachten**: Betrachte die Dreiecke \(BAP\) und \(DAQ\). 4. **Rechtwinklige Dreiecke**: Da \(P\) und \(Q\) die Fußpunkte der Lotstrecken sind, sind die Dreiecke \(BAP\) und \(DAQ\) rechtwinklig bei \(P\) bzw. \(Q\). 5. **Gleiche Hypotenusen**: In einem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang. Daher ist \(AC\) gleich lang wie \(BD\). Da \(P\) und \(Q\) auf der Diagonale \(AC\) liegen, sind die Hypotenusen \(AP\) und \(AQ\) gleich lang. 6. **Gleiche Katheten**: Die Strecken \(AB\) und \(AD\) sind Seiten des Rechtecks und daher gleich lang. 7. **Kongruenz der Dreiecke**: Die Dreiecke \(BAP\) und \(DAQ\) haben: - Eine gleiche Hypotenuse (\(AP = AQ\)), - Eine gleiche Kathete (\(AB = AD\)), - Einen rechten Winkel bei \(P\) bzw. \(Q\). Nach dem Kongruenzsatz SSW (Seite-Seite-Winkel) sind die Dreiecke \(BAP\) und \(DAQ\) kongruent. 8. **Gleiche Lotstrecken**: Da die Dreiecke kongruent sind, sind auch die entsprechenden Seiten gleich lang. Daher sind die Lotstrecken \(BP\) und \(DQ\) gleich lang. Somit ist bewiesen, dass in einem Rechteck die Lotstrecken von zwei gegenüberliegenden Ecken auf die Diagonale gleich lang sind.

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue F... [mehr]

Accepted Answer

Bei einer zentrischen Streckung wird die Fläche und der Umfang eines geometrischen Körpers durch den Streckfaktor k beeinflusst. 1. **Flächeninhalt nach der Streckung**: Der neue Flächeninhalt \( A' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ A' = k^2 \cdot A \] Hier ist \( A = 400 \, \text{dm}^2 \) und \( k = 3,5 \): \[ A' = (3,5)^2 \cdot 400 = 12,25 \cdot 400 = 4900 \, \text{dm}^2 \] 2. **Umfang nach der Streckung**: Der neue Umfang \( U' \) nach der Streckung ist gegeben durch: \[ U' = k \cdot U \] Hier ist \( U = 82 \, \text{dm} \): \[ U' = 3,5 \cdot 82 = 287 \, \text{dm} \] 3. **Längen der Seiten des Rechtecks**: Um die Längen der Seiten des ursprünglichen Rechtecks zu finden, nutzen wir die Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt. Sei \( l \) die Länge und \( b \) die Breite des Rechtecks: \[ U = 2(l + b) = 82 \implies l + b = 41 \] \[ A = l \cdot b = 400 \] Nun können wir \( b \) aus der ersten Gleichung ausdrücken: \[ b = 41 - l \] Setze dies in die Flächeninhalt-Gleichung ein: \[ l \cdot (41 - l) = 400 \] Dies ergibt die Gleichung: \[ 41l - l^2 = 400 \implies l^2 - 41l + 400 = 0 \] Um die Lösungen für \( l \) zu finden, verwenden wir die Mitternachtsformel: \[ l = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{41 \pm \sqrt{(-41)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 400}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 1600}}{2} = \frac{41 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{41 \pm 9}{2} \] Dies ergibt die Lösungen: \[ l_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{und} \quad l_2 = \frac{32}{2} = 16 \] Somit sind die Seitenlängen des Rechtecks \( l = 25 \, \text{dm} \) und \( b = 16 \, \text{dm} \) (oder umgekehrt). Zusammenfassend: - Flächeninhalt nach der Streckung: \( 4900 \, \text{dm}^2 \) - Umfang nach der Streckung: \( 287 \, \text{dm} \) - Ursprüngliche Seitenlängen: \( 25 \, \text{dm} \) und \( 16 \, \text{dm} \)

Accepted Answer

Um die Fläche eines Rechtecks zu berechnen, multiplizierst du die Länge (l) mit der Breite (b). Die Formel lautet: \[ \text{Fläche} = l \times b \] Wenn du den Umfang berechnen mö... [mehr]

Accepted Answer

Um die Fläche eines Rechtecks zu berechnen, multiplizierst du die Länge (l) mit der Breite (b). Die Formel lautet: \[ \text{Fläche} = l \times b \] Wenn du den Umfang berechnen möchtest, verwendest du die Formel: \[ \text{Umfang} = 2 \times (l + b) \] Stelle sicher, dass du die Maße in derselben Einheit angibst, um korrekte Ergebnisse zu erhalten.