Was ist die quadratische Funktion y=x^2-6x-1?

Die gegebene quadratische Funktion ist \( y = x^2 - 6x - 1 \). Um mehr über diese Funktion zu erfahren, können wir verschiedene Aspekte untersuchen, wie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und die allgemeine Form.

1. **Scheitelpunkt**: Der Scheitelpunkt einer Parabel in der Form \( y = ax^2 + bx + c \) kann mit der Formel \( x_s = -\frac{b}{2a} \) gefunden werden. Hier ist \( a = 1 \) und \( b = -6 \).

\[
x_s = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3
\]

Um den y-Wert des Scheitelpunkts zu finden, setzen wir \( x_s \) in die Funktion ein:

\[
y_s = (3)^2 - 6 \cdot 3 - 1 = 9 - 18 - 1 = -10
\]

Der Scheitelpunkt ist also \( (3, -10) \).

2. **Nullstellen**: Um die Nullstellen zu finden, setzen wir \( y = 0 \):

\[
0 = x^2 - 6x - 1
\]

Wir verwenden die Mitternachtsformel:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 3 \pm \sqrt{10}
\]

Die Nullstellen sind also \( x_1 = 3 + \sqrt{10} \) und \( x_2 = 3 - \sqrt{10} \).

3. **Allgemeine Form**: Die Funktion ist bereits in der allgemeinen Form \( y = ax^2 + bx + c \) mit \( a = 1 \), \( b = -6 \) und \( c = -1 \).

Zusammenfassend ist die quadratische Funktion \( y = x^2 - 6x - 1 \) eine nach oben geöffnete Parabel mit einem Scheitelpunkt bei \( (3, -10) \) und zwei Nullstellen bei \( 3 + \sqrt{10} \) und \( 3 - \sqrt{10} \).