Gegeben sind die Punkte A(1/2/3) und B(0/3/1) sowie C(2/5/3). Bestimme die Koordinaten des Punktes D, um ein Parallelogramm zu bilden.

Um die Koordinaten des Punktes D zu bestimmen, sodass die Punkte A, B, C und D ein Parallelogramm bilden, können wir die Eigenschaft nutzen, dass die Diagonalen eines Parallelogramms sich in ihrem Mittelpunkt schneiden. Die Koordinaten des Punktes D können auf verschiedene Arten gefunden werden, je nachdem, welche Punkte als benachbarte Ecken des Parallelogramms betrachtet werden. Eine Möglichkeit ist, D so zu wählen, dass die Punkte A und C sowie B und D jeweils benachbarte Ecken sind. 1. Berechne den Mittelpunkt der Diagonalen AC: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{1 + 2}{2}, \frac{2 + 5}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{7}{2}, 3 \right) \] 2. Setze den Mittelpunkt der Diagonalen BD gleich dem Mittelpunkt von AC: \[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) \] 3. Setze die Gleichungen für die Koordinaten gleich: \[ \frac{0 + x_D}{2} = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad x_D = 3 \] \[ \frac{3 + y_D}{2} = \frac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad 3 + y_D = 7 \quad \Rightarrow \quad y_D = 4 \] \[ \frac{1 + z_D}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad 1 + z_D = 6 \quad \Rightarrow \quad z_D = 5 \] Die Koordinaten des Punktes D sind somit \( D(3, 4, 5) \).