Um zu begründen, dass ein Polyeder \( k = 3f - 6 \) Kanten und \( e = 2f - 4 \) Ecken haben muss, kann man die Euler'sche Polyederformel und die Eigenschaften der Polyeder nutzen. Die Euler'sche Polyederformel lautet: \[ e - k + f = 2 \] Dabei steht \( e \) für die Anzahl der Ecken, \( k \) für die Anzahl der Kanten und \( f \) für die Anzahl der Flächen. 1. **Anzahl der Kanten \( k \):** Angenommen, das Polyeder hat nur Dreiecksflächen. Jede Dreiecksfläche hat 3 Kanten, aber jede Kante wird von zwei Flächen geteilt. Daher ist die Gesamtanzahl der Kanten: \[ k = \frac{3f}{2} \] Um dies mit der Euler'schen Formel zu kombinieren, setzen wir \( k = \frac{3f}{2} \) in die Formel ein: \[ e - \frac{3f}{2} + f = 2 \] Multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit 2, um die Brüche zu eliminieren: \[ 2e - 3f + 2f = 4 \] \[ 2e - f = 4 \] Daraus folgt: \[ f = 2e - 4 \] Setzen wir \( f = 2e - 4 \) in \( k = \frac{3f}{2} \) ein: \[ k = \frac{3(2e - 4)}{2} \] \[ k = 3e - 6 \] Damit haben wir gezeigt, dass \( k = 3e - 6 \). 2. **Anzahl der Ecken \( e \):** Um die Anzahl der Ecken \( e \) in Abhängigkeit von \( f \) zu finden, nutzen wir die Beziehung \( f = 2e - 4 \): \[ e = \frac{f + 4}{2} \] Daraus folgt: \[ e = 2f - 4 \] Dies zeigt, dass \( e = 2f - 4 \). Zusammengefasst haben wir gezeigt, dass ein Polyeder mit nur Dreiecksflächen \( k = 3f - 6 \) Kanten und \( e = 2f - 4 \) Ecken haben muss.