Ein nichttrivialer, perfekter Code \( C \subseteq H(5, \mathbb{F}_2) \) muss aus \( 2^k \) Elementen bestehen, wobei \( k \) die Dimension des Codes ist. Da \( H(5, \mathbb{F}_2 \) der 5-dimensionale Hamming-Raum über dem endlichen Feld \( \mathbb{F}_2 \) ist, hat dieser Raum insgesamt \( 2^5 = 32 \) Elemente. Ein perfekter Code in diesem Kontext ist ein Code, bei dem jeder mögliche Vektor im Raum \( H(5, \mathbb{F}_2) \) entweder ein Codewort ist oder sich in einem bestimmten Hamming-Abstand \( t \) von genau einem Codewort befindet. Der Hamming-Abstand \( d \) eines perfekten Codes ist \( d = 2t + 1 \). Für den Hamming-Raum \( H(5, \mathbb{F}_2) \) gibt es nur einen nichttrivialen, perfekten Code, nämlich den Hamming-Code. Der Hamming-Code hat die Parameter \( [n, k, d] = [5, 2, 3] \). Das bedeutet: - Der Code hat \( 2^2 = 4 \) Codewörter. - Der Minimalabstand \( d \) des Codes ist 3. Zusammengefasst: - Ein nichttrivialer, perfekter Code \( C \subseteq H(5, \mathbb{F}_2) \) besteht aus 4 Elementen. - Der Minimalabstand \( d \) des Codes ist 3.