Die Paare der reellen Zahlen bilden eine Gruppe, wenn sie mit einer geeigneten Verknüpfung ausgestattet sind, die die Gruppeneigenschaften erfüllt. Ein häufiges Beispiel ist die Gruppe der reellen Zahlenpaare \((a, b)\) mit der Addition als Verknüpfung. Hier sind die Gruppeneigenschaften im Detail: 1. **Abgeschlossenheit**: Für alle \((a, b)\) und \((c, d)\) in \(\mathbb{R}^2\) ist \((a + c, b + d)\) ebenfalls in \(\mathbb{R}^2\). 2. **Assoziativität**: Für alle \((a, b)\), \((c, d)\) und \((e, f)\) in \(\mathbb{R}^2\) gilt \(((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a, b) + ((c, d) + (e, f))\). 3. **Neutrales Element**: Das neutrale Element ist \((0, 0)\), da für jedes \((a, b)\) in \(\mathbb{R}^2\) gilt \((a, b) + (0, 0) = (a, b)\). 4. **Inverses Element**: Für jedes \((a, b)\) in \(\mathbb{R}^2\) gibt es ein inverses Element \((-a, -b)\), sodass \((a, b) + (-a, -b) = (0, 0)\). Diese Eigenschaften zeigen, dass die Paare der reellen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung eine abelsche Gruppe (kommutative Gruppe) bilden.