Zeige, dass a x (b c) = (a x b) (a x c)?

Question

Zeige, dass a x (b c) = (a x b) (a x c)?

Antwort

Verwandte Fragen

Was umfasst die analytische Geometrie?

Wie bestimme ich die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden mit Richtungsvektor und Normalenvektor?

Ist die Riemannsche Vermutung bewiesen?

Beweis des Satzes von Vieta

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass \( \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \), kannst du die Vektoridentität für das Kreuzprodukt verwenden. Diese Identität ist als Lagrangesche Identität bekannt und lautet: \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \] Hier ist der Beweis: 1. **Definition des Kreuzprodukts**: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\mathbf{u}\) und \(\mathbf{v}\) ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden Vektoren steht und dessen Richtung durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt wird. Mathematisch ist es definiert als: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \] 2. **Doppelte Kreuzprodukte**: Für das doppelte Kreuzprodukt \(\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\), kannst du die Vektoridentität verwenden: \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \] 3. **Skalarprodukte**: Das Skalarprodukt (oder Punktprodukt) zweier Vektoren \(\mathbf{u}\) und \(\mathbf{v}\) ist definiert als: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \] 4. **Anwendung der Identität**: Setze die Vektoren \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) und \(\mathbf{c}\) in die Identität ein: \[ \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \] Damit ist gezeigt, dass \( \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \) gleich \( (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \) ist.

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Zur analytischen Geometrie (auch Vektorgeometrie oder Koordinatengeometrie genannt) gehören alle mathematischen Methoden, mit denen geometrische Probleme mithilfe von Zahlen, Koordinaten und Glei... [mehr]

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Zur analytischen Geometrie (auch Vektorgeometrie oder Koordinatengeometrie genannt) gehören alle mathematischen Methoden, mit denen geometrische Probleme mithilfe von Zahlen, Koordinaten und Gleichungen gelöst werden. Die wichtigsten Themenbereiche sind: - **Vektoren**: Darstellung, Rechenregeln, Linearkombinationen, Betrag, Skalarprodukt, Kreuzprodukt (im 3D-Raum). - **Geraden und Ebenen**: Darstellung in Parameterform, Koordinatenform, Schnittpunkte, Lagebeziehungen (z.B. parallel, identisch, windschief). - **Abstände**: Abstand Punkt–Punkt, Punkt–Gerade, Punkt–Ebene, Gerade–Gerade, Gerade–Ebene, Ebene–Ebene. - **Schnittpunkte und Schnittwinkel**: Berechnung von Schnittpunkten und Winkeln zwischen Geraden, Ebenen und zwischen Geraden und Ebenen. - **Koordinatensysteme**: Kartesisches Koordinatensystem im 2D- und 3D-Raum. - **Gleichungen geometrischer Objekte**: Kreise, Kugeln, Kegel, Zylinder, Ellipsen usw. in Koordinatendarstellung. - **Transformationen**: Spiegelungen, Verschiebungen, Drehungen im Raum. - **Anwendungen**: z.B. Berechnung von Flächeninhalten, Volumina, Schwerpunktberechnungen. Die analytische Geometrie verbindet also Algebra und Geometrie, indem sie geometrische Objekte mit Hilfe von Gleichungen und Koordinaten beschreibt und untersucht.

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, nutzt du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Hier die wichtigsten Schritte: **1. Geradengleichung u... [mehr]

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Um die gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden im Raum zu bestimmen, nutzt du den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene. Hier die wichtigsten Schritte: **1. Geradengleichung und Ebenengleichung:** - Gerade: \(\vec{g}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{r}\) (\(\vec{p}\): Stützvektor, \(\vec{r}\): Richtungsvektor) - Ebene: \(\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{q}) = 0\) (\(\vec{n}\): Normalenvektor, \(\vec{q}\): Stützvektor der Ebene) **2. Lagebeziehungen:** **a) Gerade parallel zur Ebene:** Die Gerade ist parallel zur Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden \(\vec{r}\) senkrecht zum Normalenvektor der Ebene \(\vec{n}\) steht, also: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 \] - Falls die Gerade nicht in der Ebene liegt, ist sie echt parallel. - Liegt sie in der Ebene, ist sie eine Teilmenge der Ebene. **b) Gerade schneidet die Ebene:** Die Gerade schneidet die Ebene, wenn: \[ \vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0 \] In diesem Fall gibt es genau einen Schnittpunkt. Diesen erhältst du, indem du die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzt und nach \(t\) auflöst. **c) Gerade liegt in der Ebene:** Die Gerade liegt in der Ebene, wenn sie parallel zur Ebene ist (\(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\)) **und** ein Punkt der Geraden (z.B. \(\vec{p}\)) die Ebenengleichung erfüllt: \[ \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0 \] **Zusammenfassung:** - \(\vec{n} \cdot \vec{r} \neq 0\): Schnittpunkt vorhanden. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) \neq 0\): Gerade ist parallel, aber nicht in der Ebene. - \(\vec{n} \cdot \vec{r} = 0\) und \(\vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{q}) = 0\): Gerade liegt in der Ebene. **Weitere Infos:** - [Gerade und Ebene im Raum – Mathebibel.de](https://www.mathebibel.de/gerade-und-ebene-im-raum) - [Lagebeziehungen – Serlo.org](https://de.serlo.org/mathe/1887/lagebeziehungen-gerade-ebene) So kannst du mit Richtungs- und Normalenvektor die Lage bestimmen.

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Nein, die Riemannsche Vermutung ist bislang nicht bewiesen. Sie gehört zu den berühmtesten ungelösten Problemen der Mathematik. Die Vermutung wurde 1859 von Bernhard Riemann formuliert... [mehr]

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Nein, die Riemannsche Vermutung ist bislang nicht bewiesen. Sie gehört zu den berühmtesten ungelösten Problemen der Mathematik. Die Vermutung wurde 1859 von Bernhard Riemann formuliert und besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion den Realteil 1/2 haben. Trotz vieler Teilerfolge und intensiver Forschung gibt es bis heute keinen allgemein anerkannten Beweis. Die Riemannsche Vermutung ist eines der sieben Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute, für deren Lösung jeweils ein Preis von einer Million US-Dollar ausgelobt ist. Weitere Informationen findest du zum Beispiel auf der [Seite des Clay Mathematics Institute](https://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis).

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) Der Beweis erfolgt durch Anwendung der Mitternachtsformel zur Bestimmung der Wurzeln eines quadratischen Polynoms. Wenn man die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) aus der Formel \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) ableitet, kann man die oben genannten Beziehungen ableiten. Für höhere Grade von Polynomen gibt es ähnliche Beziehungen, die die Summe und das Produkt der Wurzeln in Bezug auf die Koeffizienten des Polynoms darstellen.

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.