Die Konvergenz einer Reihe und die Erfüllung der Mittelwert-Eigenschaft sind zwei unterschiedliche Konzepte in der Mathematik. Eine Reihe \(\sum a_n\) konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen \(S_N = \sum_{n=1}^N a_n\) einen endlichen Grenzwert hat, wenn \(N\) gegen unendlich geht. Die Mittelwert-Eigenschaft bezieht sich oft auf die Cesàro-Mittelwerte einer Folge oder Reihe. Eine Reihe \(\sum a_n\) erfüllt die Mittelwert-Eigenschaft, wenn die Cesàro-Mittelwerte der Partialsummen konvergieren. Das bedeutet, dass der Durchschnitt der ersten \(N\) Partialsummen gegen einen Grenzwert konvergiert, wenn \(N\) gegen unendlich geht. Es gibt eine wichtige Beziehung zwischen diesen beiden Konzepten: Wenn eine Reihe \(\sum a_n\) konvergiert, dann konvergieren auch ihre Cesàro-Mittelwerte. Das Umgekehrte ist jedoch nicht immer wahr. Es ist möglich, dass die Cesàro-Mittelwerte einer divergenten Reihe konvergieren, was bedeutet, dass die Reihe die Mittelwert-Eigenschaft erfüllt, aber selbst nicht konvergiert. Zusammengefasst: Wenn eine Reihe konvergiert, erfüllt sie die Mittelwert-Eigenschaft. Aber die Erfüllung der Mittelwert-Eigenschaft garantiert nicht die Konvergenz der Reihe.