Wie kann ich die Konvergenz einer Reihe beweisen?

Question

Wie kann ich die Konvergenz einer Reihe beweisen?

Antwort

Verwandte Fragen

Ist die Beschränktheit der Partialsummen s_n = ∑(von k=1 bis n) a_k notwendig, hinreichend oder keines für die Konvergenz der Reihe ∑(von k=1 bis ∞) a_k?

Bestimme das größtmögliche R≥0 für die absolute Konvergenz der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (x^k)/k² mit |x|<R.

Bestimme das größtmögliche R≥0, dass die Reihe ∑ ((-1)^k)/(k²) *x^(2k+4) für |x|<R absolut konvergiert.

Bestimme das größtmögliche R≥0, dass die Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (k!)/(k^k) * x^k für alle x∈R mit |x|<R absolut konvergiert. Ergebnis auf drei Nachkommastellen?

Wie ist das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) ((−1)^k)* (2^k)/(k!)?

Entscheide das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (((−1)^k)/(2k-1)).

Entscheide das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (((−1)^k)/((1/2)^k)).

Beweis des Satzes von Vieta

Einfacher Beweis des Satzes von Vieta.

Satz von Vieta: Verwendung, Voraussetzungen, Beweis, Herleitung und Beispiel.

Accepted Answer

Um die Konvergenz einer Reihe zu beweisen, gibt es verschiedene Methoden und Tests, die je nach Art der Reihe angewendet werden können. Hier sind einige der gängigsten Methoden: 1. **Vergleichstest (Direkter Vergleichstest)**: - Vergleiche die gegebene Reihe \(\sum a_n\) mit einer bekannten konvergenten oder divergenten Reihe \(\sum b_n\). - Wenn \(0 \leq a_n \leq b_n\) für alle \(n\) und \(\sum b_n\) konvergiert, dann konvergiert auch \(\sum a_n\). - Wenn \(a_n \geq b_n \geq 0\) für alle \(n\) und \(\sum b_n\) divergiert, dann divergiert auch \(\sum a_n\). 2. **Quotiententest (D'Alembertscher Quotiententest)**: - Berechne den Grenzwert \(L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\). - Wenn \(L < 1\), dann konvergiert die Reihe \(\sum a_n\). - Wenn \(L > 1\) oder \(L = \infty\), dann divergiert die Reihe \(\sum a_n\). - Wenn \(L = 1\), ist der Test nicht aussagekräftig. 3. **Wurzeltest (Cauchyscher Wurzeltest)**: - Berechne den Grenzwert \(L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\). - Wenn \(L < 1\), dann konvergiert die Reihe \(\sum a_n\). - Wenn \(L > 1\) oder \(L = \infty\), dann divergiert die Reihe \(\sum a_n\). - Wenn \(L = 1\), ist der Test nicht aussagekräftig. 4. **Integraltest**: - Sei \(f(x)\) eine positive, stetige, monoton fallende Funktion, sodass \(f(n) = a_n\). - Untersuche das Integral \(\int_1^\infty f(x) \, dx\). - Wenn das Integral konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe \(\sum a_n\). - Wenn das Integral divergiert, dann divergiert auch die Reihe \(\sum a_n\). 5. **Alternierender-Reihen-Test (Leibniz-Kriterium)**: - Für eine alternierende Reihe \(\sum (-1)^n a_n\) mit \(a_n > 0\): - Wenn \(a_n\) monoton fallend ist und \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\), dann konvergiert die Reihe. Diese Methoden sind nur einige der vielen Werkzeuge, die zur Verfügung stehen, um die Konvergenz von Reihen zu untersuchen. Die Wahl der Methode hängt von den spezifischen Eigenschaften der Reihe ab.

Accepted Answer

Die Bedingung, dass die Partialsummen \( s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) beschränkt sind, ist notwendig für die Konvergenz der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \). Wenn die Reihe \( \sum_{k=1}... [mehr]

Accepted Answer

Die Bedingung, dass die Partialsummen \( s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \) beschränkt sind, ist notwendig für die Konvergenz der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \). Wenn die Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \) konvergiert, dann müssen die Partialsummen \( s_n \) einen Grenzwert haben, was bedeutet, dass sie beschränkt sind. Allerdings ist die Beschränktheit der Partialsummen nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe. Es gibt Reihen, deren Partialsummen beschränkt sind, aber die Reihe selbst divergiert, wie zum Beispiel die alternierende harmonische Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \), deren Partialsummen zwar beschränkt sind, aber nicht konvergieren. Zusammenfassend: Die Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \).

Accepted Answer

Um das größtmögliche \( R \geq 0 \) zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2} \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut... [mehr]

Accepted Answer

Um das größtmögliche \( R \geq 0 \) zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2} \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut konvergiert, können wir den Wurzel- oder den Quotiententest verwenden. Hier verwenden wir den Quotiententest. Betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe: \[ a_k = \frac{x^k}{k^2}. \] Wir berechnen den Quotienten \( \frac{a_{k+1}}{a_k} \): \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)^2}}{\frac{x^k}{k^2}} = \frac{x^{k+1} \cdot k^2}{x^k \cdot (k+1)^2} = \frac{x \cdot k^2}{(k+1)^2}. \] Für große \( k \) vereinfacht sich dieser Ausdruck zu: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \approx \frac{x \cdot k^2}{k^2} = x. \] Der Quotiententest besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert des Quotienten kleiner als 1 ist: \[ |x| < 1. \] Das bedeutet, dass die Reihe für \( |x| < 1 \) absolut konvergiert. Daher ist das größtmögliche \( R \) gleich 1. Zusammenfassend ergibt sich: \[ R = 1.000. \]

Accepted Answer

Um das größtmögliche \( R \geq 0 \) zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k+4} \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R... [mehr]

Accepted Answer

Um das größtmögliche \( R \geq 0 \) zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k+4} \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut konvergiert, betrachten wir zunächst die allgemeine Form der Reihe. Die Reihe kann umgeschrieben werden als: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k+4} = x^4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k} \] Die innere Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k} \] ist eine alternierende Reihe. Um die Konvergenz zu untersuchen, verwenden wir den Leibniz-Kriterium für die Alternierende Reihe, das besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn die Beträge der Terme monoton fallen und gegen null konvergieren. Die Terme der Reihe sind: \[ a_k = \frac{x^{2k}}{k^2} \] Für die absolute Konvergenz betrachten wir die Reihe: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k^2} \] Diese Reihe ist eine Potenzreihe in \( x^2 \). Um den Konvergenzradius \( R \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Konvergenzradius einer Potenzreihe: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} \] Hier ist \( a_k = \frac{1}{k^2} \) und wir betrachten \( |x|^{2k} \). Der Konvergenzradius der Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k^2} \) ist gegeben durch: \[ R = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{k^2}} = 1 \] Das bedeutet, dass die Reihe für \( |x^2| < 1 \) konvergiert, also für \( |x| < 1 \). Daher ist das größtmögliche \( R \) für die absolute Konvergenz der gegebenen Reihe: \[ R = 1 \] Auf drei Nachkommastellen gerundet ist das Ergebnis: \[ R = 1.000 \]

Accepted Answer

Um den größtmöglichen Radius \( R \) zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) abso... [mehr]

Accepted Answer

Um den größtmöglichen Radius \( R \) zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut konvergiert, verwenden wir den Wurzel- oder Quotiententest. Hier ist der Quotiententest anwendbar. Betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe: \[ a_k = \frac{k!}{k^k} x^k. \] Wir berechnen den Quotienten \( \frac{a_{k+1}}{a_k} \): \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} x^{k+1} \cdot \frac{k^k}{k! x^k} = \frac{(k+1) k^k}{(k+1)^{k+1}} x = \frac{k^k}{(k+1)^k} x. \] Nun vereinfachen wir den Ausdruck: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \left( \frac{k}{k+1} \right)^k x. \] Für große \( k \) gilt: \[ \left( \frac{k}{k+1} \right)^k = \left( 1 - \frac{1}{k+1} \right)^k \approx e^{-1} \quad \text{(nach dem Grenzwert von } \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \text{)}. \] Somit ergibt sich: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \approx e^{-1} x. \] Für die Konvergenz der Reihe muss der Grenzwert des Quotienten kleiner als 1 sein: \[ |e^{-1} x| < 1 \implies |x| < e. \] Daraus folgt, dass der Radius der Konvergenz \( R = e \) ist. Das Ergebnis auf drei Nachkommastellen lautet: \[ R \approx 2.718. \]

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \] zu bestimmen, können wir zunächst die absolute Konvergenz prüfen. Dazu betrachten wir die R... [mehr]

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \] zu bestimmen, können wir zunächst die absolute Konvergenz prüfen. Dazu betrachten wir die Reihe der Beträge: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}. \] Diese Reihe ist die Taylorreihe für die Exponentialfunktion \(e^x\) bei \(x = 2\): \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = e^2. \] Da die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}\) konvergiert (sie ist eine konvergente Exponentialreihe), folgt, dass die ursprüngliche Reihe absolut konvergent ist. Da die Reihe sowohl konvergent als auch absolut konvergent ist, ist die Antwort: **Absolut konvergent.**

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \] zu bestimmen, können wir den Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen anwenden. Eine alternierende Rei... [mehr]

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \] zu bestimmen, können wir den Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen anwenden. Eine alternierende Reihe \(\sum (-1)^k a_k\) konvergiert, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. \(a_k \geq a_{k+1}\) für alle \(k\) (die Folge der Beträge ist monoton fallend). 2. \(\lim_{k \to \infty} a_k = 0\). In diesem Fall ist \(a_k = \frac{1}{2k-1}\). 1. **Monotonie**: Es gilt \(a_k = \frac{1}{2k-1} \geq a_{k+1} = \frac{1}{2(k+1)-1} = \frac{1}{2k+1}\), was zeigt, dass die Folge monoton fallend ist. 2. **Grenzwert**: Der Grenzwert ist \(\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k-1} = 0\). Da beide Bedingungen erfüllt sind, konvergiert die Reihe. Um die absolute Konvergenz zu überprüfen, betrachten wir die Reihe der Beträge: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{2k-1} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1}. \] Diese Reihe ist die harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist die ursprüngliche Reihe nicht absolut konvergent. Zusammenfassend ist die Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die richtige Antwort ist also: **Konvergent, aber nicht absolut konvergent.**

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(1/2)^k} \] zu untersuchen, können wir die Reihe umformen. Der Ausdruck \((1/2)^k\) kann als \(2^{-k}\) geschrieben we... [mehr]

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(1/2)^k} \] zu untersuchen, können wir die Reihe umformen. Der Ausdruck \((1/2)^k\) kann als \(2^{-k}\) geschrieben werden, sodass die Reihe wie folgt aussieht: \[ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot 2^k \] Das bedeutet, dass die Reihe tatsächlich die Form \[ \sum_{k=1}^{\infty} (-2)^k \] hat. Diese Reihe ist eine geometrische Reihe mit dem ersten Term \(-2\) und dem Faktor \(r = -2\). Eine geometrische Reihe konvergiert nur, wenn der Betrag des Faktors \(r\) kleiner als 1 ist, also \(|r| < 1\). In diesem Fall ist \(|-2| = 2\), was größer als 1 ist. Daher divergiert die Reihe. Die Antwort ist: **Divergent.**

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) Der Beweis erfolgt durch Anwendung der Mitternachtsformel zur Bestimmung der Wurzeln eines quadratischen Polynoms. Wenn man die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) aus der Formel \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) ableitet, kann man die oben genannten Beziehungen ableiten. Für höhere Grade von Polynomen gibt es ähnliche Beziehungen, die die Summe und das Produkt der Wurzeln in Bezug auf die Koeffizienten des Polynoms darstellen.

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wur... [mehr]

Accepted Answer

Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Für ein quadratisches Polynom der Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) mit den Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) gilt: 1. Die Summe der Wurzeln: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 2. Das Produkt der Wurzeln: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) **Ein einfacher Beweis:** 1. **Polynom umformen:** Beginne mit der allgemeinen Form des quadratischen Polynoms: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] 2. **Wurzeln ausdrücken:** Angenommen, die Wurzeln \( x_1 \) und \( x_2 \) sind Lösungen der Gleichung. Dann kann das Polynom auch als Produkt der Wurzeln geschrieben werden: \[ a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \] 3. **Ausmultiplizieren:** Multipliziere die Klammern aus: \[ a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = 0 \] Dies ergibt: \[ ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 = 0 \] 4. **Vergleich der Koeffizienten:** Vergleiche die Koeffizienten mit der ursprünglichen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \): - Der Koeffizient von \( x \) gibt uns \( -a(x_1 + x_2) = b \), was zu \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) führt. - Der konstante Term ergibt \( ax_1x_2 = c \), was zu \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) führt. Somit sind die Beziehungen, die der Satz von Vieta beschreibt, bewiesen.

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Er ist besonders nützlich in der Algebra, um Informationen über dieur... [mehr]

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Der Satz von Vieta beschreibt die Beziehungen zwischen den Koeffizienten eines Polynoms und den Wurzeln dieses Polynoms. Er ist besonders nützlich in der Algebra, um Informationen über dieurzeln eines Polynoms zu gewinnen, ohne sie explizit zu berechnen. ### Voraussetzungen Der Satz von Vieta gilt für ein Polynom n-ten Grades der Form: \[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \] wobei \( a_n \neq 0 \) und die Wurzeln \( r_1, r_2, \ldots, r_n \) des Polynoms betrachtet werden. ### Verwendung Der Satz wird verwendet, um die Summe und das Produkt der Wurzeln eines Polynoms in Bezug auf die Koeffizienten zu bestimmen. Für ein Polynom der Form \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \) gilt: - Die Summe der Wurzeln (mit Vorzeichenwechsel) ist gegeben durch: \[ r_1 + r_2 + \ldots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \] - Das Produkt der Wurzeln (bei geradem n mit Vorzeichenwechsel) ist gegeben durch: \[ r_1 \cdot r_2 \cdot \ldots \cdot r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \] ### Beweis Der Beweis erfolgt durch Induktion über den Grad des Polynoms. Für den Basisfall (n=1) ist der Satz trivial, da ein lineares Polynom \( P(x) = a_1 x + a_0 \) nur eine Wurzel hat, die direkt aus der Gleichung abgeleitet werden kann. Für den Induktionsschritt nimmt man an, dass der Satz für ein Polynom n-ten Grades gilt und zeigt, dass er auch für ein Polynom (n+1)-ten Grades gilt. Man kann das Polynom in der Form \( P(x) = a_n (x - r)(x^{n} + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_0) \) schreiben und die Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Wurzeln ableiten. ### Herleitung Die Herleitung des Satzes von Vieta erfolgt durch die Betrachtung der Faktorisierung eines Polynoms. Wenn man ein Polynom in der Form \( P(x) = a_n (x - r_1)(x - r_2) \ldots (x - r_n) \) schreibt, kann man durch Ausmultiplizieren die Koeffizienten in Bezug auf die Wurzeln ausdrücken. ### Beispiel Betrachten wir das Polynom: \[ P(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 12 \] Hier sind die Koeffizienten: - \( a_n = 2 \) - \( a_{n-1} = -6 \) - \( a_0 = -12 \) Anwendung des Satzes von Vieta: 1. **Summe der Wurzeln**: \[ r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{-6}{2} = 3 \] 2. **Produkt der Wurzeln**: \[ r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 = (-1)^3 \frac{-12}{2} = 6 \] Diese Beziehungen helfen, die Wurzeln des Polynoms zu analysieren, ohne sie direkt zu berechnen.