Wie kann ich die Konvergenz einer Reihe beweisen?

Um die Konvergenz einer Reihe zu beweisen, gibt es verschiedene Methoden und Tests, die je nach Art der Reihe angewendet werden können. Hier sind einige der gängigsten Methoden:

1. **Vergleichstest (Direkter Vergleichstest)**:
- Vergleiche die gegebene Reihe \(\sum a_n\) mit einer bekannten konvergenten oder divergenten Reihe \(\sum b_n\).
- Wenn \(0 \leq a_n \leq b_n\) für alle \(n\) und \(\sum b_n\) konvergiert, dann konvergiert auch \(\sum a_n\).
- Wenn \(a_n \geq b_n \geq 0\) für alle \(n\) und \(\sum b_n\) divergiert, dann divergiert auch \(\sum a_n\).

2. **Quotiententest (D'Alembertscher Quotiententest)**:
- Berechne den Grenzwert \(L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\).
- Wenn \(L < 1\), dann konvergiert die Reihe \(\sum a_n\).
- Wenn \(L > 1\) oder \(L = \infty\), dann divergiert die Reihe \(\sum a_n\).
- Wenn \(L = 1\), ist der Test nicht aussagekräftig.

3. **Wurzeltest (Cauchyscher Wurzeltest)**:
- Berechne den Grenzwert \(L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\).
- Wenn \(L < 1\), dann konvergiert die Reihe \(\sum a_n\).
- Wenn \(L > 1\) oder \(L = \infty\), dann divergiert die Reihe \(\sum a_n\).
- Wenn \(L = 1\), ist der Test nicht aussagekräftig.

4. **Integraltest**:
- Sei \(f(x)\) eine positive, stetige, monoton fallende Funktion, sodass \(f(n) = a_n\).
- Untersuche das Integral \(\int_1^\infty f(x) \, dx\).
- Wenn das Integral konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe \(\sum a_n\).
- Wenn das Integral divergiert, dann divergiert auch die Reihe \(\sum a_n\).

5. **Alternierender-Reihen-Test (Leibniz-Kriterium)**:
- Für eine alternierende Reihe \(\sum (-1)^n a_n\) mit \(a_n > 0\):
- Wenn \(a_n\) monoton fallend ist und \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\), dann konvergiert die Reihe.

Diese Methoden sind nur einige der vielen Werkzeuge, die zur Verfügung stehen, um die Konvergenz von Reihen zu untersuchen. Die Wahl der Methode hängt von den spezifischen Eigenschaften der Reihe ab.