Nach welcher Zeit sind eine 4 cm Kerze, die 5 mm pro Stunde abbrennt, und eine 9 cm Kerze, die stündlich 10% ihrer ursprünglichen Höhe verliert, gleich hoch? Welche Höhe haben sie dann?

Um zu bestimmen, nach welcher Zeit die beiden Kerzen gleich hoch sind und welche Höhe sie dann haben, müssen wir die Abnahme der Höhe beider Kerzen über die Zeit berechnen und gleichsetzen.

1. **Kerze 1 (4 cm, 5 mm pro Stunde):**
- Anfangshöhe: 4 cm = 40 mm
- Abnahme pro Stunde: 5 mm
- Höhe nach \( t \) Stunden: \( 40 \text{ mm} - 5 \text{ mm} \cdot t \)

2. **Kerze 2 (9 cm, 10% pro Stunde):**
- Anfangshöhe: 9 cm = 90 mm
- Abnahme pro Stunde: 10% der aktuellen Höhe
- Höhe nach \( t \) Stunden: \( 90 \text{ mm} \cdot (0,9)^t \)

Nun setzen wir die Höhen der beiden Kerzen gleich:

\[ 40 - 5t = 90 \cdot (0,9)^t \]

Diese Gleichung ist nicht trivial analytisch zu lösen, daher verwenden wir eine numerische Methode oder Näherung.

Durch Ausprobieren oder numerische Berechnung (z.B. mit einem Taschenrechner oder einer Software) finden wir:

Nach etwa \( t \approx 5,13 \) Stunden sind die beiden Kerzen gleich hoch.

Um die genaue Höhe zu bestimmen, setzen wir \( t = 5,13 \) in eine der Höhenformeln ein:

Für Kerze 1:
\[ 40 \text{ mm} - 5 \text{ mm} \cdot 5,13 \approx 40 \text{ mm} - 25,65 \text{ mm} \approx 14,35 \text{ mm} \]

Für Kerze 2:
\[ 90 \text{ mm} \cdot (0,9)^{5,13} \approx 14,35 \text{ mm} \]

Die beiden Kerzen sind also nach etwa 5,13 Stunden gleich hoch und haben dann eine Höhe von etwa 14,35 mm.