Was ist der Kern einer Matrix?

Der Kern (oder Nullraum) einer Matrix \( A \) besteht aus allen Vektoren \( \mathbf{x} \), die die Gleichung \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) erfüllen. Um den Kern einer Matrix zu finden, folge diesen Schritten:

1. **Aufstellen der Gleichung**: Schreibe die Gleichung \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) auf, wobei \( A \) die gegebene Matrix und \( \mathbf{x} \) der Vektor ist, den du finden möchtest.

2. **Erweiterte Matrix bilden**: Erstelle die erweiterte Matrix, indem du die Matrix \( A \) und die Nullvektoren kombinierst.

3. **Gauß-Jordan-Elimination**: Verwende die Gauß-Jordan-Elimination, um die erweiterte Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform (RREF) zu bringen.

4. **Lösungsvektoren bestimmen**: Bestimme die freien Variablen und drücke die abhängigen Variablen in Abhängigkeit von den freien Variablen aus. Die resultierenden Vektoren bilden eine Basis für den Kern der Matrix.

Beispiel:

Gegeben sei die Matrix \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix} \]

1. **Aufstellen der Gleichung**:

\[ A\mathbf{x} = \mathbf{0} \]

2. **Erweiterte Matrix bilden**:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 0 \\
4 & 5 & 6 & 0 \\
\end{array} \right) \]

3. **Gauß-Jordan-Elimination**:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & -3 & -6 & 0 \\
\end{array} \right) \]

\[ \left( \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 3 & 0 \\
0 & 1 & 2 &0 \\
\end{array} \right) \]

\[ \( \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 &1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
\end{array} \right) \]

4. **Lösungsvektoren bestimmen**:

Setze \( x_3 = t \) (freie Variable), dann:

\[ x_2 = -2t \]
\[ x_1 = t \]

Der Lösungsvektor ist:

\[ \mathbf{x} = t \begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
1 \\
\end{pmatrix} \]

Der Kern der Matrix \( A \) ist also der Raum, der durch den Vektor \( \begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
1 \\
\end{pmatrix} \) aufgespannt wird.