Der Kern (oder Nullraum) einer Matrix \( A \) besteht aus allen Vektoren \( \mathbf{x} \), die die Gleichung \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) erfüllen. Um den Kern einer Matrix zu finden, folge diesen Schritten: 1. **Aufstellen der Gleichung**: Schreibe die Gleichung \( A\mathbf{x} = \mathbf{0} \) auf, wobei \( A \) die gegebene Matrix und \( \mathbf{x} \) der Vektor ist, den du finden möchtest. 2. **Erweiterte Matrix bilden**: Erstelle die erweiterte Matrix, indem du die Matrix \( A \) und die Nullvektoren kombinierst. 3. **Gauß-Jordan-Elimination**: Verwende die Gauß-Jordan-Elimination, um die erweiterte Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform (RREF) zu bringen. 4. **Lösungsvektoren bestimmen**: Bestimme die freien Variablen und drücke die abhängigen Variablen in Abhängigkeit von den freien Variablen aus. Die resultierenden Vektoren bilden eine Basis für den Kern der Matrix. Beispiel: Gegeben sei die Matrix \( A \): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \] 1. **Aufstellen der Gleichung**: \[ A\mathbf{x} = \mathbf{0} \] 2. **Erweiterte Matrix bilden**: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 \\ \end{array} \right) \] 3. **Gauß-Jordan-Elimination**: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ \end{array} \right) \] \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &0 \\ \end{array} \right) \] \[ \( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 &1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ \end{array} \right) \] 4. **Lösungsvektoren bestimmen**: Setze \( x_3 = t \) (freie Variable), dann: \[ x_2 = -2t \] \[ x_1 = t \] Der Lösungsvektor ist: \[ \mathbf{x} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \] Der Kern der Matrix \( A \) ist also der Raum, der durch den Vektor \( \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \) aufgespannt wird.