Wie lautet die Lösung für ∫ x^3 * e^(x^2) dx?

Um das Integral \(\int x^3 e^{x^2} \, dx\) zu lösen, kann eine Substitution verwendet werden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. Setze \(u = x^2\). Dann ist \(du = 2x \, dx\) oder \(dx = \frac{du}{2x}\). 2. Ersetze \(x^2\) durch \(u\) und \(dx\) durch \(\frac{du}{2x}\) im Integral: \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \int x^3 e^u \cdot \frac{du}{2x} \] 3. Vereinfache den Ausdruck: \[ \int x^3 e^u \cdot \frac{du}{2x} = \int \frac{x^3}{2x} e^u \, du = \int \frac{x^2}{2} e^u \, du \] 4. Da \(x^2 = u\), ersetze \(x^2\) durch \(u\): \[ \int \frac{u}{2} e^u \, du \] 5. Ziehe den konstanten Faktor \(\frac{1}{2}\) vor das Integral: \[ \frac{1}{2} \int u e^u \, du \] 6. Verwende die Methode der partiellen Integration, um \(\int u e^u \, du\) zu lösen. Setze \(v = u\) und \(dw = e^u \, du\). Dann ist \(dv = du\) und \(w = e^u\). Die Formel für partielle Integration lautet: \[ \int v \, dw = vw - \int w \, dv \] Also: \[ \int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du \] 7. Integriere \(e^u\): \[ \int e^u \, du = e^u \] 8. Setze dies in die partielle Integration ein: \[ \int u e^u \, du = u e^u - e^u + C \] 9. Setze dies in das ursprüngliche Integral ein: \[ \frac{1}{2} \int u e^u \, du = \frac{1}{2} (u e^u - e^u + C) \] 10. Ersetze \(u\) wieder durch \(x^2\): \[ \frac{1}{2} ((x^2) e^{x^2} - e^{x^2} + C) \] 11. Vereinfache den Ausdruck: \[ \frac{1}{2} (x^2 e^{x^2} - e^{x^2}) + C \] 12. Ziehe den konstanten Faktor \(\frac{1}{2}\) heraus: \[ \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \frac{1}{2} e^{x^2} + C \] Die endgültige Lösung des Integrals ist: \[ \int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} - \frac{1}{2} e^{x^2} + C \]