Die Prozentrechnung hilft dir, Anteile eines Ganzen zu berechnen. Ein Prozent (1 %) bedeutet „ein Hundertstel“ (1/100). Hier die wichtigsten Grundbegriffe und Formeln: **1. Grundwert (G):...
Berechne ∫_0^1 (e^2x) dx und ∫_5^10 (x^25/x^26) dx.
Antwort vomUm die beiden Integrale zu berechnen, gehen wir sie nache durch. 1. **Für das Integral \(\int_0^1 e^{2x} \, dx\)**: Die Stammfunktion von \(e^{2x}\) ist \(\frac{1}{2} e^{2x}\). Daher berechnen wir: \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C \] Nun setzen wir die Grenzen von 0 bis 1 ein: \[ \int_0^1 e^{2x} \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_0^1 = \frac{1}{2} e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} e^0 = \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} \] Das Ergebnis ist: \[ \frac{1}{2} (e^2 - 1) \] 2. **Für das Integral \(\int_5^{10} \frac{x^{25}}{x^{26}} \, dx\)**: Zuerst vereinfachen wir den Integranden: \[ \frac{x^{25}}{x^{26}} = \frac{1}{x} \] Das Integral wird also: \[ \int_5^{10} \frac{1}{x} \, dx \] Die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) ist \(\ln|x|\). Wir setzen die Grenzen ein: \[ \int_5^{10} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_5^{10} = \ln(10) - \ln(5) = \ln\left(\frac{10}{5}\right) = \ln(2) \] Zusammenfassend sind die Ergebnisse der beiden Integrale: 1. \(\int_0^1 e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} (e^2 - 1)\) 2. \(\int_5^{10} \frac{x^{25}}{x^{26}} \, dx = \ln(2)\)
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