Um die Summen mittels Indexverschiebungen zu ergänzen, betrachten wir die beiden gegebenen Summen. 1) Für die erste Summe: \[ \sum_{k=3}^{8} (k - 2)^3 \] Wir führen eine Indexverschiebung durch, indem wir \( j = k - 2 \) setzen. Dann ändert sich die Summationsgrenze: - Wenn \( k = 3 \), dann \( j = 1 \). - Wenn \( k = 8 \), dann \( j = 6 \). Somit wird die Summe: \[ \sum_{j=1}^{6} j^3 \] Das entspricht der Summe von \( k = 1 \) bis \( k = 6 \) von \( k^3 \), also: \[ \sum_{k=1}^{6} k^3 \] 2) Für die zweite Summe: \[ \sum_{k=-3}^{5} (2k - 1)^2 \] Hier setzen wir \( j = 2k - 1 \). Um die Grenzen zu bestimmen, berechnen wir: - Wenn \( k = -3 \), dann \( j = 2(-3) - 1 = -7 \). - Wenn \( k = 5 \), dann \( j = 2(5) - 1 = 9 \). Die Summe wird also: \[ \sum_{j=-7}^{9} j^2 \] Das entspricht nicht direkt einer Summe von \( k^2 \), sondern ist eine Summe über die Quadrate der Werte von \( j \) von \(-7\) bis \(9\). Zusammenfassend: 1) \(\sum_{k=3}^{8} (k - 2)^3 = \sum_{k=1}^{6} k^3\) 2) \(\sum_{k=-3}^{5} (2k - 1)^2 = \sum_{j=-7}^{9} j^2\) (nicht direkt in der Form von \( k^2 \)).