Was ist Gleichverteilung?

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Was ist Gleichverteilung?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Was ist Kreuzentropie?

Accepted Answer

Die Gleichverteilung, auch uniforme Verteilung genannt, ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der alle Ereignisse oder Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. In einer diskreten Gleichverteilung hat jede mögliche Ausprägung die gleiche Wahrscheinlichkeit. In einer stetigen Gleichverteilung ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable in einem bestimmten Intervall liegt, proportional zur Länge dieses Intervalls. Ein einfaches Beispiel für eine diskrete Gleichverteilung ist das Werfen eines fairen Würfels. Jeder der sechs möglichen Ausgänge (1, 2, 3, 4, 5, 6) hat die gleiche Wahrscheinlichkeit von 1/6. Ein Beispiel für eine stetige Gleichverteilung ist die Verteilung der Zufallsvariable \(X\), die gleichmäßig über das Intervall \([a, b]\) verteilt ist. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) dieser Verteilung ist: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{für } a \leq x \leq b \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \] Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) in einem bestimmten Teilintervall von \([a, b]\) liegt, gleichmäßig verteilt ist.

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

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Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.

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Die Kreuzentropie ist ein Maß für die Differenz zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen, häufig verwendet in der Informationstheorie und im maschinellen Lernen. Sie quantifiziert... [mehr]

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Die Kreuzentropie ist ein Maß für die Differenz zwischen zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen, häufig verwendet in der Informationstheorie und im maschinellen Lernen. Sie quantifiziert, wie gut eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (z. B. die Vorhersagen eines Modells) die tatsächliche Verteilung der Daten beschreibt. Mathematisch wird die Kreuzentropie \( H(p, q) \) zwischen zwei Verteilungen \( p \) (der wahren Verteilung) und \( q \) (der geschätzten Verteilung) definiert als: \[ H(p, q) = -\sum_{x} p(x) \log(q(x)) \] Hierbei summierst du über alle möglichen Ereignisse \( x \). Die Kreuzentropie ist besonders nützlich in Klassifikationsaufgaben, da sie als Verlustfunktion verwendet wird, um die Leistung von Modellen zu bewerten. Ein niedrigerer Wert der Kreuzentropie zeigt an, dass das Modell die wahre Verteilung besser approximiert.